Uma espira circular situada no plano x y tem raio igual a 10,0 [cm] e por ela circula uma corrente de 50,0 [A]. Determine: em que ponto do eixo z o campo magnético será igual a 10,0[mT].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma espira circular no plano $ xy $ com raio de 10,0 cm e uma corrente de 50,0 A passando por ela. A gente precisa descobrir em que ponto ao longo do eixo $ z $ o campo magnético gerado por essa corrente será igual a 10,0 mT. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do campo magnético no eixo de uma espira circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o campo magnético $ B $ no eixo $ z $ de uma espira circular. A fórmula é:
B
Aqui:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, que vale $ 4\pi \times 10^{-7} , \mathrm{T \cdot m/A} $.
  • $ I $ é a corrente que passa pela espira.
  • $ r $ é o raio da espira.
  • $ z $ é a distância ao longo do eixo $ z $ onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, convertemos o raio para metros:
r = 10,0 , cm = 0,10 , m
A corrente $ I $ é 50,0 A e queremos que o campo $ B(z) $ seja 10,0 mT, que é igual a 0,010 T. Então, temos:
I

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, calculamos o numerador:
mu0 I r^2 = (4pi times 10^-7) times 50,0 times (0,10)^2 = (4pi times 10^-7) times 50,0 times 0,01 = 4pi times 10^-7 times 0,5 = 2pi times 10^-7
Então, a equação fica:
0,010 = 2pi times 10^-72 (0,01 + z^2)^3/2 = pi times 10^-7(0,01 + z^2)^3/2

Passo 5

Vamos isolar $ (0,01 + z2){3/2} $:
(0,01 + z^2)^3/2
Calculando o lado direito:
(0,01 + z^2)^3/2 = pi times 10^-70,010
Então:
pi times 10^-70,010 = pi times 10^-5

Passo 6

Agora, vamos tirar a raiz $ 3/2 $ de ambos os lados para resolver para $ z $:
3/2
Calculando $ \left( \pi \times 10^{-5} \right)^{2/3} $:
Primeiro, $ \pi \approx 3,1416 $, então:
z
Elevando ao poder $ 2/3 $:
0,01 + z^2 = ( pi times 10^-5 )^2/3
Então:
( pi times 10^-5 )^2/3

Passo 7

Subtraindo 0,01 de ambos os lados:
z^2 approx 1,047 times 10^-3 - 0,01 = -8,953 times 10^-3
Isso resulta em um valor negativo para $ z^2 $, o que não faz sentido físico, pois o quadrado de uma distância não pode ser negativo.

Resposta

Não existe um ponto ao longo do eixo $ z $ onde o campo magnético produzido por essa espira seja igual a 10,0 mT com os dados fornecidos.

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