Uma espira quadrada de lado \boldsymbol{a} conduz uma corrente elétrica \boldsymbol{I}(t)=\boldsymbol{I}_{\mathbf{0}} e^{-t} \cos (\omega t). Usando a lei de Ampere (versão calculo diferencial e integral), calcule:
(a) o campo magnético no centro desta espira?
(b) Calcule a circulação do campo magnético B ao longo de um dos lados da espira.

Passo 1

O enunciado nos dá uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente
I(t)=I_{0}e^{-t}\cos(\omega t).
Queremos (a) o campo magnético no centro da espira e (b) a circulação de \mathbf{B} ao longo de um dos lados. Para (a) vamos usar a lei de Biot–Savart (que decorre da forma diferencial de Ampère), somando a contribuição de cada segmento retilíneo. Para (b) usamos a forma integral da lei de Ampère
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}I_{\text{enc}}.

Passo 2

Considere um dos quatro lados da espira, comprimento a, e o ponto O no centro, à distância r=a/2 perpendicular ao lado. Pela lei de Biot–Savart, a contribuição desse lado é
B_{1} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\;I(t)\int_{\text{lado}} \frac{d\ell\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} =\frac{\mu_{0}I(t)}{4\pi\,r}\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr),
onde \theta_{1} e \theta_{2} são os ângulos formados pelos vetores da reta infinita limitada pelos extremos do lado. Aqui cada metade do lado faz \theta_{1}=\theta_{2}=\arctan\bigl(\tfrac{a/2}{a/2}\bigr)=\pi/4. Logo
\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}=2\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}, \quad r=\frac{a}{2}.
Substituindo,
B_{1} =\frac{\mu_{0}I(t)}{4\pi\,(a/2)}\,\sqrt{2} =\frac{\mu_{0}I(t)\,\sqrt{2}}{2\pi\,a}.

Passo 3

Como a espira tem quatro lados iguais e cada lado contribui com o mesmo módulo de campo perpendicular ao plano da espira, o campo total no centro é
B_{\text{centro}} =4\,B_{1} =4\;\frac{\mu_{0}I(t)\,\sqrt{2}}{2\pi\,a} =\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0}}{\pi\,a}\;I(t).
Usando I(t)=I_{0}e^{-t}\cos(\omega t), temos
B_{\text{centro}} =\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0}}{\pi\,a}\;I_{0}e^{-t}\cos(\omega t),
direção perpendicular ao plano da espira, dada pela regra da mão direita.

Passo 4

Para calcular a circulação de \mathbf{B} ao longo de um dos lados, aplicamos a forma integral da lei de Ampère ao contorno fechado \mathcal{C} que é a própria espira:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} =\mu_{0}\,I_{\text{enc}} =\mu_{0}\,I(t).
Por simetria (os quatro lados são idênticos do ponto de vista de contorno), cada lado dá a mesma contribuição à integral total. Assim, para um único lado:
\int_{\text{lado}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} =\frac{1}{4}\,\mu_{0}\,I(t).

Resposta

(a)
B_{\text{centro}} =\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0}}{\pi\,a}\;I_{0}e^{-t}\cos(\omega t) \quad\text{(para cima ou para dentro, conforme a regra da mão direita).}ã
(b)
\int_{\text{lado}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} =\frac{\mu_{0}}{4}\;I_{0}e^{-t}\cos(\omega t).

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