Usando a lei de Ampere (versão calculo diferencial e integral), calcule:
Uma espira circular de raio R conduz uma corrente elétrica \boldsymbol{I}(t)=\boldsymbol{I}_{\mathbf{0}} e^{-t} \sin (\omega t).
(a) o campo magnético no centro desta espira?
(b) Calcule a circulação do campo magnético B ao longo da espira.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a espira circular de raio R que conduz uma corrente
I(t)=I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t):
(a) o campo magnético \mathbf{B} no centro da espira;
(b) a circulação \displaystyle\oint_{\text{espira}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
O conteúdo envolvido é:
– Lei de Biot–Savart para achar \mathbf{B} no centro (Ampère integral não é útil aqui por falta de simetria apropriada);
– Lei de Ampère integral \displaystyle\oint\mathbf{B}\cdot d\ell=\mu_{0}I_{\rm encl} para determinar a circulação.

Passo 2

Para achar o campo no centro usamos a lei de Biot–Savart. Num ponto sobre o eixo da espira, a contribuição de cada elemento d\boldsymbol{\ell} dá direção normal ao plano da espira e módulo
d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I(t)\,d\ell\times \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
No centro, por simetria todo o campo resultante aponta ao longo do eixo da espira e seu módulo é o clássico
B(0,t) =\frac{\mu_{0}\,I(t)}{2R} =\frac{\mu_{0}}{2R}\;I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t).
O vetor fica
\mathbf{B}(0,t) =\frac{\mu_{0}I_{0}}{2R}\,e^{-t}\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o eixo normal à espira (pela regra da mão direita).

Passo 3

Para a circulação ao longo da espira aplicamos a lei de Ampère na forma integral. Escolhendo a própria espira como caminho \mathcal{C}, o campo tangencial efetivamente “fecha” todo o corrente I(t) dentro de \mathcal{C}. Logo
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}\,I_{\rm encl} =\mu_{0}\,I(t) =\mu_{0}\,I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(0,t) =\frac{\mu_{0}I_{0}}{2R}\,e^{-t}\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{n}}.
(b) \displaystyle \oint_{\text{espira}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t).

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