Usando a lei de Ampere (versão calculo diferencial e integral), calcule:
Um solenoide de comprimento \boldsymbol{L} e raio \boldsymbol{R} é composto por \boldsymbol{N} espiras de fio condutor. Se uma corrente elétrica \boldsymbol{I}_{\mathbf{0}} e^{-t} \sin (\omega t). flui pelo solenoide. Calcule:
(a) o campo magnético no centro deste solenoide em função do tempo?
(b) Calcule a circulação do campo magnético B ao longo do solenoide.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético no interior (centro) de um solenoide de comprimento L, raio R e N espiras, percorrido por uma corrente variável
I(t)=I_{0}e^{-t}\sin(\omega t).
O conteúdo é a lei de Ampère, tanto em sua forma integral
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\rm envolvido},
quanto a forma diferencial \nabla\times \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}.

Passo 2

Para um solenoide longo e uniformemente enrolado, o campo dentro é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora do solenoide é quase zero. Pela forma integral de Ampère, escolhemos um caminho retangular cujos lados paralelos ao eixo têm comprimento L, um dentro do solenoide e o outro fora (onde \mathbf{B}\approx0), e os lados transversais contribuem zero pois \mathbf{B}\perp d\boldsymbol{\ell}. Então
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_{\rm in}\,L.

Passo 3

A corrente total envolvida pelo caminho é a soma das N espiras que atravessam a superfície limitada pelo retângulo. Cada espira carrega a mesma corrente I(t), logo
I_{\rm envolvido}=N\,I(t)
e a lei de Ampère dá
B_{\rm in}\,L=\mu_{0}\,N\,I(t).

Passo 4

Isolando B_{\rm in} e substituindo I(t)=I_{0}e^{-t}\sin(\omega t), obtemos
B(t) =\frac{\mu_{0}\,N}{L}\;I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t).

Passo 5

A circulação completa do campo magnético ao longo do percurso escolhido vale
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =B_{\rm in}\,L =\mu_{0}\,N\,I(t) =\mu_{0}\,N\,I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t).

Resposta

(a) \displaystyle B(t)=\frac{\mu_{0}\,N}{L}\,I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t)
(b) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}\,N\,I_{0}\,e^{-t}\sin(\omega t)

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