Uma espira de raio R=25 \mathrm{~cm} tem uma espira menor de raio r=0,9 \mathrm{~cm}, em seu centro de modo que os planos das duas espiras sejam mutuamente perpendiculares. Quando uma corrente elétrica de 14,0 \mathrm{~A} flui em ambas as espiras, a espira menor experimenta um torque devido ao campo magnético produzido pela espira maior. Determine o torque considerando que a espira menor seja suficientemente pequena para que o campo magnético devido à outra seja o mesmo ao longo de sua superfície inteira.

Passo 1

O enunciado descreve duas espiras circulares com a mesma corrente I=14{,}0\\ \mathrm{A}. A espira maior tem raio R=25\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m} e gera um campo magnético no seu centro. No mesmo ponto fica a espira menor, de raio r=0{,}9\\ \mathrm{cm}=0{,}009\\ \mathrm{m}, cujo plano é perpendicular ao da espira maior. Queremos o torque na espira menor devido ao campo magnético da espira maior. Para resolver vamos usar:
  1. Campo magnético no centro de uma espira circular.
  2. Momento magnético de uma espira.
  3. Torque de um dipolo magnético em campo uniforme.

Passo 2

O campo magnético no centro de uma espira circular de raio R percorrida por corrente I é uniforme e perpendicular ao plano, dado por
B \;=\;\frac{\mu_{0}\,I}{2\,R}
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Substituindo
B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times14{,}0}{2\times0{,}25} = \frac{4\pi\times14{,}0}{0{,}5}\times10^{-7} = 112\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T} \approx 3{,}52\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 3

A espira menor comporta-se como um dipolo magnético com momento
m = I\,A = I\;\bigl(\pi\,r^{2}\bigr).
Com r=0{,}009\\ \mathrm{m} e I=14{,}0\\ \mathrm{A},
A = \pi\times(0{,}009)^{2} \approx 2{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
m = 14{,}0\times2{,}55\times10^{-4} \approx 3{,}57\times10^{-3}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

Passo 4

O torque em um dipolo magnético \vec m submetido a campo uniforme \vec B é
\vec\tau = \vec m \times \vec B \quad\Longrightarrow\quad \tau = m\,B\,\sin\theta.
Aqui os planos das espiras são perpendiculares, logo \vec m e \vec B formam \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Assim
\tau = m\,B \approx (3{,}57\times10^{-3})\,(3{,}52\times10^{-5}) \approx 1{,}26\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

O torque na espira menor é aproximadamente
\tau \approx 1{,}3\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot m}.

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