Uma espira de raio
está na presença de um campo magnético que varia no tempo e no espaço, dado por
, onde
é uma constante. Determine uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma espira circular com raio $ R $ e está sujeita a um campo magnético que muda tanto com o tempo quanto com a posição, dado por $ B = c x^{2} t^{2} $, onde $ c $ é uma constante. O que precisamos descobrir é a força eletromotriz (EMF) induzida nessa espira. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que nos ajuda a calcular a EMF induzida quando há uma variação do fluxo magnético através da espira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Faraday nos diz que a EMF induzida ($ \mathcal{E}
\Phi $) em relação ao tempo:
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar uma expressão para o fluxo magnético ($ \Phi $) através da espira.
Passo 3
O fluxo magnético ($ \Phi
B
A $):
Como a espira é circular com raio $ R $, vamos calcular essa integral considerando que $ B = c x^{2} t^{2} $. Para facilitar, usaremos coordenadas cartesianas onde $ x $ varia de
a $ R $ e $ y $ varia de
a $ \sqrt{R^{2} - x^{2}} $ para cobrir toda a área da espira.
Passo 4
Vamos substituir $ B $ na expressão do fluxo:
Integrando primeiro em relação a $ y $, obtemos:
Passo 5
Essa integral é simétrica em relação a $ x = 0 $, então podemos simplificar calculando de 0 a $ R $ e multiplicando por 2:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral $ \int_{0}^{R} x^{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} , dx $. Para isso, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral. Sem entrar em detalhes complicados, sabemos que essa integral resulta em:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do fluxo:
Passo 8
Agora, aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a EMF induzida:
Resposta
A força eletromotriz induzida na espira é dada por: