Uma espira de raio R está na presença de um campo magnético que varia no tempo e no espaço, dado por B=c x^2 t^2, onde c é uma constante. Determine uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma espira circular com raio $ R $ e está sujeita a um campo magnético que muda tanto com o tempo quanto com a posição, dado por $ B = c x^{2} t^{2} $, onde $ c $ é uma constante. O que precisamos descobrir é a força eletromotriz (EMF) induzida nessa espira. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que nos ajuda a calcular a EMF induzida quando há uma variação do fluxo magnético através da espira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Faraday nos diz que a EMF induzida ($ \mathcal{E} E éàçãé \Phi $) em relação ao tempo:
Phi
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar uma expressão para o fluxo magnético ($ \Phi $) através da espira.

Passo 3

O fluxo magnético ($ \Phi Phi éé B B á A $):
A
Como a espira é circular com raio $ R $, vamos calcular essa integral considerando que $ B = c x^{2} t^{2} $. Para facilitar, usaremos coordenadas cartesianas onde $ x $ varia de Phi = integralA B , dA a $ R $ e $ y $ varia de R a $ \sqrt{R^{2} - x^{2}} $ para cobrir toda a área da espira.

Passo 4

Vamos substituir $ B $ na expressão do fluxo:
B
Integrando primeiro em relação a $ y $, obtemos:
Phi = integral-R^R integral-raizR^2 - x^2^raizR^2 - x^2 c x^2 t^2 , dy , dx

Passo 5

Essa integral é simétrica em relação a $ x = 0 $, então podemos simplificar calculando de 0 a $ R $ e multiplicando por 2:
x = 0

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral $ \int_{0}^{R} x^{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} , dx $. Para isso, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral. Sem entrar em detalhes complicados, sabemos que essa integral resulta em:
integral0^R x^2 raizR^2 - x^2 , dx

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do fluxo:
Phi = 4 c t^2 cdot pi R^416 = pi c R^4 t^24

Passo 8

Agora, aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a EMF induzida:
E = -dPhidt = -ddt ( pi c R^4 t^24 ) = -pi c R^44 cdot 2t = -pi c R^4 t2

Resposta

A força eletromotriz induzida na espira é dada por:
E = -pi c R^4 t2

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