Em uma região do ar existe um campo uniforme barB=8 barax-3 baray+2 baraz(mWb / m^2), um elemento de corrente I d l=5 barax-14 baray+9 baraz(Am) no ponto A(x=2 cm ; y=3 cm ; z=3 cm) e uma espira de corrente com momento magnético barm=8 barax+2 baray-5 baraz(Am^2) no ponto B(x=5 cm ; y=4 cm ; z=8 cm), calcule: o torque magnético do elemento de corrente sobre a espira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região com um campo magnético uniforme barB, um elemento de corrente I , dl no ponto A, e uma espira de corrente com momento magnético barm no ponto B. A tarefa é calcular o torque magnético que o elemento de corrente no ponto A exerce sobre a espira no ponto B.
Aqui, vamos precisar dos conceitos de campo magnético gerado por uma corrente, momento magnético e torque magnético. Vamos resolver passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A Lei de Biot-Savart nos dá essa relação:
barB = mu04pi I , dbarl times barr|barr|^3
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo.
  • I , dbarl é o elemento de corrente.
  • barr é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo.
Vamos usar essa fórmula para encontrar o campo magnético no ponto B devido ao elemento de corrente no ponto A.

Passo 3

Primeiro, vamos determinar o vetor posição barr que vai de A para B. As coordenadas de A são (2 cm, 3 cm, 3 cm) e as de B são (5 cm, 4 cm, 8 cm). Calculamos barr subtraindo as coordenadas de A das de B:
barr = (5-2)barax + (4-3)baray + (8-3)baraz = 3barax + 1baray + 5baraz cm
Convertendo para metros:
barr = 0,03barax + 0,01baray + 0,05baraz m

Passo 4

Agora, vamos calcular $ |\bar{r}| $, que é o módulo do vetor |barr| :
barr

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial $ I , d\bar{l} \times \bar{r} $. O elemento de corrente é $ I , d\bar{l} = 5\bar{a}_x - 14\bar{a}_y + 9\bar{a}_z Am $, e I , dbarl times barr .
I , dbarl = 5barax - 14baray + 9baraz Am
Calculando o determinante:
barr = 0,03barax + 0,01baray + 0,05baraz m
I , dbarl times barr = barax & baray & baraz 5 & -14 & 9 0,03 & 0,01 & 0,05
= barax [(-14)(0,05) - (9)(0,01)] - baray [(5)(0,05) - (9)(0,03)] + baraz [(5)(0,01) - (-14)(0,03)]

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético barBA no ponto B devido ao elemento de corrente no ponto A:
barBA = mu04pi I , dbarl times barr|barr|^3
Substituindo os valores:
barBA = 4pi times 10^-7 T·m/A4pi -0,79,barax + 0,02,baray + 0,47,baraz(0,0592)^3
= 10^-7 -0,79,barax + 0,02,baray + 0,47,baraz0,000208 T
approx -3,8 times 10^-4,barax + 9,6 times 10^-6,baray + 2,26 times 10^-4,baraz T

Passo 7

O campo magnético total barBtotal no ponto B é a soma do campo uniforme e do campo gerado pelo elemento de corrente:
barBtotal = barB + barBA
Dados:
barB = 8,barax - 3,baray + 2,baraz mWb/m^2 = 8 times 10^-3,barax - 3 times 10^-3,baray + 2 times 10^-3,baraz T
Somando:
barBtotal = (8 times 10^-3 - 3,8 times 10^-4),barax + (-3 times 10^-3 + 9,6 times 10^-6),baray + (2 times 10^-3 + 2,26 times 10^-4),baraz
= 7,62 times 10^-3,barax - 2,9904 times 10^-3,baray + 2,226 times 10^-3,baraz T

Passo 8

Agora, vamos calcular o torque magnético bartau na espira usando a relação:
bartau = barm times barBtotal
Onde o momento magnético da espira é dado por barm = 8,barax + 2,baray - 5,baraz Am^2.
Calculando o produto vetorial:
bartau = barax & baray & baraz 8 & 2 & -5 7,62 times 10^-3 & -2,9904 times 10^-3 & 2,226 times 10^-3
= barax (2 times 2,226 times 10^-3 - (-5) times (-2,9904 times 10^-3)) - baray (8 times 2,226 times 10^-3 - (-5) times 7,62 times 10^-3) + baraz (8 times (-2,9904 times 10^-3) - 2 times 7,62 times 10^-3)
= barax (0,004452 - 0,014952) - baray (0,017808 + 0,0381) + baraz (-0,0239232 - 0,01524)
= -0,0105,barax - 0,055908,baray - 0,0391632,baraz Nm

Resposta

O torque magnético do elemento de corrente sobre a espira é aproximadamente -0,0105,barax - 0,0559,baray - 0,0392,baraz Nm.

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