Usando a lei de Ampère, determine o campo magnético fora de um fio de raio
, que conduz uma corrente elétrica de densidade
, onde a é uma constante qualquer.
Passo 1
Vamos resolver um problema usando a Lei de Ampère para descobrir o campo magnético fora de um fio com raio $ R $. A corrente elétrica nesse fio tem uma densidade dada por $ J = a r^{3} $, onde $ a $ é uma constante. Para isso, vamos precisar entender como a corrente está distribuída no fio e aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético fora dele.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a corrente total que está passando pelo fio. A densidade de corrente $ J = a r^{3} $ indica que a corrente varia com a distância $ r $ do centro do fio. Para encontrar a corrente total $ I $, vamos integrar a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio.
Passo 3
A área infinitesimal em coordenadas polares é dada por $ dA = 2\pi r dr $. Então, a corrente total é:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Ampère, que diz que o circuito fechado da integral do campo magnético $ B $ ao longo de um caminho fechado é igual a $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I $ que passa através desse caminho:
Para simetria cilíndrica, o campo magnético $ B $ tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância $ r $ do centro e é tangente ao caminho escolhido. O caminho é um círculo de raio $ r $, então a integral fica:
Passo 6
Isolando $ B $:
Substituímos a expressão de $ I $ que encontramos:
Resposta
O campo magnético fora do fio é dado por: