Usando a lei de Ampère, determine o campo magnético fora de um fio de raio R, que conduz uma corrente elétrica de densidade J=a r^3, onde a é uma constante qualquer.

Passo 1

Vamos resolver um problema usando a Lei de Ampère para descobrir o campo magnético fora de um fio com raio $ R $. A corrente elétrica nesse fio tem uma densidade dada por $ J = a r^{3} $, onde $ a $ é uma constante. Para isso, vamos precisar entender como a corrente está distribuída no fio e aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético fora dele.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a corrente total que está passando pelo fio. A densidade de corrente $ J = a r^{3} $ indica que a corrente varia com a distância $ r $ do centro do fio. Para encontrar a corrente total $ I $, vamos integrar a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio.

Passo 3

A área infinitesimal em coordenadas polares é dada por $ dA = 2\pi r dr $. Então, a corrente total é:
dA = 2pi r dr

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^R r^4 , dr = R^55
Substituindo de volta:
I = 2pi a cdot R^55 = 2pi a R^55

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Ampère, que diz que o circuito fechado da integral do campo magnético $ B $ ao longo de um caminho fechado é igual a $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I $ que passa através desse caminho:
B
Para simetria cilíndrica, o campo magnético $ B $ tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância $ r $ do centro e é tangente ao caminho escolhido. O caminho é um círculo de raio $ r $, então a integral fica:
mu0

Passo 6

Isolando $ B $:
B
Substituímos a expressão de $ I $ que encontramos:
B = mu0 I2pi r

Resposta

O campo magnético fora do fio é dado por:
B = mu0 a R^55 r

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