Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=10^{10^{10}} \frac{\sqrt{n}}{n+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=10^{10^{10}}\;\frac{\sqrt{n}}{\,n+1\,}
e pede para verificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência envolvendo potências de n e raízes, e vamos usar o fato de que, para n\to\infty, termos do tipo \sqrt{n} crescem mais devagar que n.

Passo 2

Para entender o comportamento de \frac{\sqrt{n}}{n+1} quando n é grande, fatoramos n no denominador:
\frac{\sqrt{n}}{n+1} =\frac{\sqrt{n}}{n\,(1+\tfrac1n)} =\frac{1}{\sqrt{n}\,\bigl(1+\tfrac1n\bigr)}.
Como \sqrt{n}\to\infty e 1+\tfrac1n\to1, a fração \tfrac{\sqrt{n}}{n+1} tende a zero.

Passo 3

Agora volte à a_n. Temos
a_{n} =10^{10^{10}}\times\frac{\sqrt{n}}{n+1} =10^{10^{10}}\times\frac{1}{\sqrt{n}\,\bigl(1+\tfrac1n\bigr)}.
O fator 10^{10^{10}} é apenas uma constante positiva, então multiplica o comportamento do outro fator. Como \frac{1}{\sqrt{n}\,(1+1/n)}\to0, segue que a_n\to0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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