Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{4 n^{4}+5}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{n^{2}}{\sqrt{4n^{4}+5}}
e, caso ela convirja, determinar \lim_{n\to\infty}a_{n}. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo radicais, e vamos usar fatoração do termo dominante.

Passo 2

Para isolar o comportamento dominante em n, observamos que
\sqrt{4n^{4}+5} = \sqrt{n^{4}\Bigl(4 + \frac{5}{n^{4}}\Bigr)} = n^{2}\,\sqrt{4 + \frac{5}{n^{4}}}.
Logo, para n>0,
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2}\,\sqrt{4 + 5/n^{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4 + 5/n^{4}}}\,.

Passo 3

Como \displaystyle\frac{5}{n^{4}}\to 0 quando n\to\infty, o termo dentro da raiz satisfaz
4 + \frac{5}{n^{4}}\;\longrightarrow\;4 \quad\implies\quad \sqrt{4 + \frac{5}{n^{4}}}\;\longrightarrow\;\sqrt{4}=2.
Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{4 + 5/n^{4}}} = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \tfrac{1}{2}.

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