Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{5 n^{3}-2 n}{n^{4}+3 n^{2}-10}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{5n^3 - 2n}{n^4 + 3n^2 - 10}.
O conteúdo aqui é limite de sequência definida por função racional de polinômios; vamos usar comparação de graus de polinômios para decidir convergência e calcular o limite.

Passo 2

Em sequências do tipo racional de polinômios, se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o denominador cresce mais rápido e a sequência tende a zero. Aqui o numerador tem grau 3 e o denominador grau 4, logo esperamos
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, dividimos numerador e denominador por n^4:
a_n = \frac{\displaystyle\frac{5n^3}{n^4} - \frac{2n}{n^4}}{\displaystyle\frac{n^4}{n^4} + \frac{3n^2}{n^4} - \frac{10}{n^4}} = \frac{\displaystyle\frac{5}{n} - \frac{2}{n^3}}{1 + \frac{3}{n^2} - \frac{10}{n^4}}.

Passo 4

Calculamos o limite de cada parcela quando n\to\infty:
\frac{5}{n}\to0,\quad \frac{2}{n^3}\to0,\quad \frac{3}{n^2}\to0,\quad \frac{10}{n^4}\to0.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{0 - 0}{1 + 0 - 0} = 0.

Resposta

A sequência converge e
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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