Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\cos \frac{(2 n+1) \pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a sequência
a_{n} = \cos\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\bigr)
e decidir se ela converge ou diverge; em caso de convergência, encontrar o limite. Vamos usar manipulação de argumentos de cosseno e valores trigonométricos conhecidos.

Passo 2

Note que
\tfrac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \tfrac{\pi}{2}.
Assim podemos reescrever
a_{n} = \cos\bigl(n\pi + \tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula de cosseno da soma,
\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,
com \alpha = n\pi e \beta = \tfrac{\pi}{2}, obtemos
a_{n} =\cos(n\pi)\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) -\sin(n\pi)\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Sabemos que \cos(n\pi)=(-1)^n, \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, \sin(n\pi)=0 e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Logo,
a_{n} =(-1)^n\cdot 0 \;-\; 0\cdot 1 =0.
Portanto, toda a sequência é identicamente zero.

Passo 5

Como a_{n}=0 para todo n, a sequência converge trivialmente, e o limite vale
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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