Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=n^{(-1)^{n}}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = n^{(-1)^{n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência determinar o limite. O conteúdo principal é o estudo de convergência de sequências reais, especialmente usando subsequências.

Passo 2

Note que (-1)^{n} vale 1 quando n é par e -1 quando n é ímpar. Logo, separamos em duas subsequências:
Para n=2k,
a_{2k} = (2k)^{(-1)^{2k}} = (2k)^{1} = 2k.
Para n=2k-1,
a_{2k-1} = (2k-1)^{(-1)^{2k-1}} = (2k-1)^{-1} = \frac{1}{2k-1}.

Passo 3

Analisando a subsequência ímpar \bigl(a_{2k-1}\bigr):
a_{2k-1} = \frac{1}{2k-1}.
Como k\to\infty, o denominador 2k-1\to\infty, então
\lim_{k\to\infty}a_{2k-1} = 0.

Passo 4

Analisando a subsequência par \bigl(a_{2k}\bigr):
a_{2k} = 2k.
Aqui claramente 2k\to\infty quando k\to\infty, ou seja,
\lim_{k\to\infty}a_{2k} = +\infty.

Passo 5

Como a subsequência ímpar tende a 0 e a subsequência par diverge para +\infty, não existe um único valor L que seja o limite de toda a sequência (a_{n}). Portanto, a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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