Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência determinar o limite. O conteúdo principal é o estudo de convergência de sequências reais, especialmente usando subsequências.
Passo 2
Note que
vale
quando
é par e
quando
é ímpar. Logo, separamos em duas subsequências:
Para ,
Para
Para
,
Passo 3
Analisando a subsequência ímpar
:
Como
, o denominador
, então
Passo 4
Analisando a subsequência par
:
Aqui claramente
quando
, ou seja,
Passo 5
Como a subsequência ímpar tende a
e a subsequência par diverge para
, não existe um único valor
que seja o limite de toda a sequência
. Portanto, a sequência diverge.
Resposta
A sequência diverge.