Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{\sqrt{n} \sin \left(n!e^{n}\right)}{n+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{\sqrt{n}\,\sin\bigl(n!e^{n}\bigr)}{n+1}
e pede para estabelecer convergência ou divergência e, se convergir, encontrar o limite. Para isso, usaremos a desigualdade \lvert\sin x\rvert\le1 e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Como \lvert\sin(n!e^{n})\rvert\le1, segue que
\bigl\lvert a_{n}\bigr\rvert =\left\lvert\frac{\sqrt{n}\,\sin(n!e^{n})}{n+1}\right\rvert \le\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Agora observamos o limite do lado direito:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{n}{n+1} =0\cdot1 =0.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, como \lvert a_{n}\rvert\le\sqrt{n}/(n+1) e \sqrt{n}/(n+1)\to0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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