Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{(2-\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}{4 n+5}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{(2-\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}{4n+5}
e pede para decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo é cálculo de limite de sequência racional em n\to\infty. Vamos usar manipulação algébrica e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o numerador multiplicando as expressões:
(2-\sqrt{n})(3+\sqrt{n}) =2\cdot3 + 2\sqrt{n} - 3\sqrt{n} - (\sqrt{n})^2 =6 - \sqrt{n} - n.
Logo podemos reescrever
a_{n} =\frac{6 - \sqrt{n} - n}{4n + 5}.

Passo 3

Para avaliar o comportamento quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n:
a_{n} =\frac{\displaystyle\frac{6}{n} - \frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{n}{n}} {\displaystyle\frac{4n}{n} + \frac{5}{n}} =\frac{\displaystyle\frac{6}{n} - \frac{1}{\sqrt{n}} - 1} {4 + \frac{5}{n}}.
À medida que n\to\infty, temos \frac{6}{n}\to0, \frac{1}{\sqrt{n}}\to0 e \frac{5}{n}\to0.

Passo 4

Portanto o limite é
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{0 - 0 - 1}{4 + 0} =-\frac{1}{4}.
Assim, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é -\tfrac{1}{4}.

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