Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
a_{n}=\frac{\ln n}{n} \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{\ln(n)}{n}
e pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
O conteúdo é limite de sequência, e vamos usar o método de comparar com uma função contínua e aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos a função f:(0,\infty)\to\mathbb{R} por
f(x) = \frac{\ln(x)}{x}.
Para calcular
\lim_{x\to\infty} f(x)
vemos que tanto \ln(x)\to\infty como x\to\infty, então aplicamos L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} =0.

Passo 3

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=0 e a_n=f(n) para todo n\in\mathbb{N}, segue-se que
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n} =0.

Resposta

O limite da sequência \displaystyle a_{n}=\frac{\ln(n)}{n} é 0.

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