Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um número real
com
, a sequência
converge para
. O conteúdo que vamos usar é a ideia de que uma potência cujo expoente cresce “vence” qualquer fator polinomial, ou seja, mostramos que
decai tão rápido que
tende a zero.
Passo 2
Como
, podemos escolher um número
tal que
Então para todo
vale
Como
temos
, logo
Defina
Então
e
Passo 3
Mostramos agora que, se
, então
Uma forma rápida é usar o critério da razão:
Como o limite da razão é menor que
, a sequência
tende a zero.
Passo 4
Concluímos que
. Pelo teorema do confronto,
, isto é,