Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se |a|<1, então a_{n}=n a^{n} \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número real a com \lvert a\rvert<1, a sequência
a_{n} = n\,a^{n}
converge para 0. O conteúdo que vamos usar é a ideia de que uma potência cujo expoente cresce “vence” qualquer fator polinomial, ou seja, mostramos que a^{n} decai tão rápido que n\,a^{n} tende a zero.

Passo 2

Como \lvert a\rvert<1, podemos escolher um número r tal que
\lvert a\rvert < r < 1.
Então para todo n vale
\lvert a_{n}\rvert = n\,\lvert a\rvert^{n} = n\Bigl(\frac{\lvert a\rvert}{r}\Bigr)^{n} \,r^{n}.
Como 0<r<1 temos r^{n}<1, logo
\lvert a_{n}\rvert \le n\Bigl(\frac{\lvert a\rvert}{r}\Bigr)^{n}.
Defina
b = \frac{\lvert a\rvert}{r}.
Então 0\le b<1 e
\lvert a_{n}\rvert \le n\,b^{n}.

Passo 3

Mostramos agora que, se 0\le b<1, então
n\,b^{n}\;\longrightarrow\;0.
Uma forma rápida é usar o critério da razão:
\frac{(n+1)\,b^{n+1}}{n\,b^{n}} = b\;\frac{n+1}{n} \;\longrightarrow\;b\quad(\text{com }b<1).
Como o limite da razão é menor que 1, a sequência n\,b^{n} tende a zero.

Passo 4

Concluímos que \lvert a_{n}\rvert \le n\,b^{n}\to0. Pelo teorema do confronto, \lvert a_{n}\rvert\to0, isto é,
a_{n} \;\longrightarrow\; 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\,a^{n} = 0.

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