Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=n \sin \frac{\pi}{n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = n \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
O conteúdo envolvido é limite de sequência e, em particular, vamos usar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos a_n de forma a aparecer a razão \sin(x)/x:
a_{n} = n \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) = \pi \;\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}.

Passo 3

Quando n\to\infty, o argumento \pi/n tende a zero. Pelo limite fundamental, vale
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=1.

Passo 4

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\lim_{n\to\infty}a_{n} = \pi \cdot 1 = \pi,
o que mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}n\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\pi.

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