Suponha que o sistema a seguir seja consistente para todos os valores de f e g. O que você pode dizer sobre os coeficientes c e d ? Justifique sua resposta.
x1+3 x2 & =f c x1+d x2 & =g

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x1+3x2=f, c,x1+d,x2=g,
e diz que ele é consistente para todo par de valores (f,g). O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: um sistema Ax=b em R^2 é consistente para todo b se, e somente se, a matriz de coeficientes A for invertível (posto máximo).

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial como
ou seja

Passo 3

Para que Ax=b seja consistente para todo b, precisamos que as colunas de A gerem todo R^2. Equivalentemente, o posto de A deve ser 2, ou seja, A deve ser invertível.

Passo 4

Uma matriz 2times2 é invertível exatamente quando seu determinante é não nulo. Calculamos
det(A) =1cdot d - 3cdot c = d - 3c

Passo 5

Portanto, para garantir consistência para todos os (f,g), deve valer
d - 3c neq 0
Em outras palavras, d não pode ser igual a 3c.

Resposta

d - 3c neq 0.

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