Estabeleça condições sobre a e b, de modo que a função g(x) seja uma função de probabilidade:
|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline$g(x)$ & $-(a-b)$ & b & a & $a+b$ & $b-a$ hline -2 -1 0 1 2
b a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar condições para os valores de $ a $ e $ b $ de modo que a função $ g(x) $ seja uma função de probabilidade. Isso significa que a gente precisa garantir duas coisas:
  1. Todos os valores de $ g(x) $ devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todos os valores de $ g(x) $ deve ser igual a 1.
    Vamos usar essas duas condições para descobrir as restrições para $ a $ e $ b $.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que todos os valores de $ g(x) $ sejam maiores ou iguais a zero. Olhando para a tabela:
g(x)
Isso nos dá as seguintes inequações:
  1. $ - (a - b) \geq 0 $
  2. $ b \geq 0 $
  3. $ a \geq 0 $
  4. $ a + b \geq 0 $
  5. $ b - a \geq 0 $
Vamos simplificar essas inequações.

Passo 3

Simplificando a primeira inequação:
- (a - b) >= 0 implies -a + b >= 0 implies b >= a
Já temos:
  1. $ b \geq a $
  2. $ b \geq 0 $
  3. $ a \geq 0 $
  4. $ a + b \geq 0 $ (que já está garantido pelas duas anteriores)
  5. $ b - a \geq 0 $ (que é a mesma coisa que $ b \geq a $, já incluída)
Então, as condições até agora são:
  • $ a \geq 0 $
  • $ b \geq a $

Passo 4

Agora, vamos garantir que a soma de todos os valores de $ g(x) $ seja igual a 1. Somando todos os $ g(x) $:
g(x)
Vamos simplificar essa soma:
g(x)
Então, temos:
g(-2) + g(-1) + g(0) + g(1) + g(2) = - (a - b) + b + a + (a + b) + (b - a)

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
  1. $ b \geq a $
  2. $ a \geq 0 $
  3. $ -a + 4b = 1 $
Vamos resolver a terceira equação para $ a $:
b >= a
Agora, aplicamos as condições das inequações:
Como $ a \geq 0 $:
a >= 0
E como $ b \geq a $:
-a + 4b = 1

Passo 6

Resumindo as condições encontradas:
14 <= b <= 13
a = 4b - 1
Então, para $ g(x) $ ser uma função de probabilidade, os valores de $ a $ e $ b $ devem satisfazer:
g(x)

Resposta

As condições para que $ g(x) $ seja uma função de probabilidade são:
g(x)

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