Estabeleça condições sobre
e
, de modo que a função
seja uma função de probabilidade:
-2
-1
0
1
2
b
a
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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b | a |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar condições para os valores de $ a $ e $ b $ de modo que a função $ g(x) $ seja uma função de probabilidade. Isso significa que a gente precisa garantir duas coisas:
- Todos os valores de $ g(x) $ devem ser maiores ou iguais a zero.
- A soma de todos os valores de $ g(x) $ deve ser igual a 1.
Vamos usar essas duas condições para descobrir as restrições para $ a $ e $ b $.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que todos os valores de $ g(x) $ sejam maiores ou iguais a zero. Olhando para a tabela:
Isso nos dá as seguintes inequações:
- $ - (a - b) \geq 0 $
- $ b \geq 0 $
- $ a \geq 0 $
- $ a + b \geq 0 $
- $ b - a \geq 0 $
Vamos simplificar essas inequações.
Passo 3
Simplificando a primeira inequação:
Já temos:
- $ b \geq a $
- $ b \geq 0 $
- $ a \geq 0 $
- $ a + b \geq 0 $ (que já está garantido pelas duas anteriores)
- $ b - a \geq 0 $ (que é a mesma coisa que $ b \geq a $, já incluída)
Então, as condições até agora são:
- $ a \geq 0 $
- $ b \geq a $
Passo 4
Agora, vamos garantir que a soma de todos os valores de $ g(x) $ seja igual a 1. Somando todos os $ g(x) $:
Vamos simplificar essa soma:
Então, temos:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
- $ b \geq a $
- $ a \geq 0 $
- $ -a + 4b = 1 $
Vamos resolver a terceira equação para $ a $:
Agora, aplicamos as condições das inequações:
Como $ a \geq 0 $:
E como $ b \geq a $:
Passo 6
Resumindo as condições encontradas:
Então, para $ g(x) $ ser uma função de probabilidade, os valores de $ a $ e $ b $ devem satisfazer:
Resposta
As condições para que $ g(x) $ seja uma função de probabilidade são: