Seja X uma v.a. contínua, com a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=l 0, x<0 x^24, 0 <= x<1 2 x-14, 1 <= x<2 -(x^2-6 x+5)4, 2 <= x<3 1, x>3
Calcule E(X). Dica, a derivada da função acumulada nos fornece a função densidade f. Na sequência basta calcular
E(X)=integral-infty^infty x f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de distribuição acumulada $ F(x) $ bem definida. Nosso objetivo aqui é calcular a esperança matemática de $ X $, que é representada por $ E(X) $. Para isso, a gente vai precisar primeiro encontrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $ derivando $ F(x) $, e depois calcular a integral de $ x \times f(x) $ em todo o intervalo onde $ X $ está definido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função densidade $ f(x) $ derivando a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Lembre-se que, para uma variável contínua, $ f(x) = F’(x) $, ou seja, a derivada de $ F(x) $ em relação a $ x $.
Vamos derivar $ F(x) $ em cada um dos intervalos definidos:
  1. Para $ x < 0 $:
    f(x)
  2. Para $ 0 \leq x < 1 $:
    F(x)
  3. Para $ 1 \leq x < 2 $:
    f(x) = F'(x)
  4. Para $ 2 \leq x < 3 $:
    F(x)
  5. Para $ x \geq 3 $:
    x
Então, a função densidade $ f(x) $ é:
F(x)

Passo 3

Agora que temos $ f(x) $, vamos calcular $ E(X) $ usando a fórmula:
f(x)
Como $ f(x) $ é zero fora de $ [0, 3) $, podemos limitar nossa integral a esse intervalo:
E(X)
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Integral de 0 a 1:
E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx
Integral de 1 a 2:
f(x)
Integral de 2 a 3:
[0, 3)
Vamos integrar termo a termo:
E(X) = integral0^1 x (x2) , dx + integral1^2 x (12) , dx + integral2^3 x (3 - x2) , dx
Calculando dentro dos colchetes:
integral0^1 x (x2) , dx = 12 integral0^1 x^2 , dx = 12 [ x^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 16
integral1^2 x (12) , dx = 12 integral1^2 x , dx = 12 [ x^22 ]1^2 = 12 ( 42 - 12 ) = 12 ( 32 ) = 34
Então:
integral2^3 x (3 - x2) , dx = 12 integral2^3 x (3 - x) , dx = 12 integral2^3 (3x - x^2) , dx

Passo 4

Agora, vamos somar os resultados das três integrais para encontrar $ E(X) $:
E(X)
Primeiro, vamos encontrar um denominador comum, que é 12:
E(X) = 16 + 34 + 712

Resposta

A esperança matemática $ E(X) $ é igual a $ 1,5 $.

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