Sejam
. Definamos:
Prove que:
;
Passo 1
O enunciado trabalha com operações de teoria de conjuntos em um universo fixo
. Temos as definições
Pede-se provar as duas leis de De Morgan relativas a complemento em
:
Para isso usaremos o método de dupla inclusão: mostrar que cada membro está contido no outro.
Passo 2
Prova de
.
. (\subseteq) Seja
. Então
e
.
Mas significa que simultaneamente
e
.
Logo e
, ou seja
.
. (\supseteq) Seja
. Então
e
, ou seja
,
e
.
Isso implica , portanto
.
Com isso concluímos .
Mas
Logo
Isso implica
Com isso concluímos
Passo 3
Prova de
.
. (\subseteq) Seja
. Então
e
.
Como não está em , temos que
ou
.
Nesse caso ou
, isto é
.
. (\supseteq) Seja
. Então
e
ou
.
Logo , pois para pertencer a
precisaria estar em ambos.
Assim .
Logo .
Como não está em
Nesse caso
Logo
Assim
Logo