Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
CU(A cup B)=CU A cap CU B ; CU(A cap B)=CU A cup CU B;

Passo 1

O enunciado trabalha com operações de teoria de conjuntos em um universo fixo U. Temos as definições
CUA=xin U: xnotin A,
A - B=ain A: anotin B
Pede-se provar as duas leis de De Morgan relativas a complemento em U:
CU(Acup B)=CUAcap CUB e CU(Acap B)=CUAcup CUB
Para isso usaremos o método de dupla inclusão: mostrar que cada membro está contido no outro.

Passo 2

Prova de CU(Acup B)=CUAcap CUB.
1. (\subseteq) Seja xin CU(Acup B). Então xin U e xnotin Acup B.
Mas xnotin Acup B significa que simultaneamente xnotin A e xnotin B.
Logo xin CUA e xin CUB, ou seja xin CUAcap CUB.
2. (\supseteq) Seja xin CUAcap CUB. Então xin CUA e xin CUB, ou seja xin U, xnotin A e xnotin B.
Isso implica xnotin Acup B, portanto xin CU(Acup B).
Com isso concluímos CU(Acup B)=CUAcap CUB.

Passo 3

Prova de CU(Acap B)=CUAcup CUB.
1. (\subseteq) Seja xin CU(Acap B). Então xin U e xnotin Acap B.
Como não está em Acap B, temos que xnotin A ou xnotin B.
Nesse caso xin CUA ou xin CUB, isto é xin CUAcup CUB.
2. (\supseteq) Seja xin CUAcup CUB. Então xin U e xnotin A ou xnotin B.
Logo xnotin Acap B, pois para pertencer a Acap B precisaria estar em ambos.
Assim xin CU(Acap B).
Logo CU(Acap B)=CUAcup CUB.

Resposta

CU(Acup B)=CUAcap CUB e CU(Acap B)=CUAcup CUB

Exercícios relacionados