Estabeleça a convergência ou divergência das séries abaixo, especificando o critério utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}(n+1)}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}(n+1)}}
usando um critério de séries. O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o critério de comparação com séries do tipo p-série.

Passo 2

Observamos que
\sqrt{n^{2}(n+1)} = n\sqrt{n+1},
então o termo geral pode ser escrito como
a_{n} = \frac{1}{n\sqrt{n+1}}.

Passo 3

Como para todo n\ge1 vale \sqrt{n+1}>\sqrt{n}, temos
a_{n} = \frac{1}{n\sqrt{n+1}} < \frac{1}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, logo é convergente. Pelo critério da comparação direta, como 0\le a_{n}\le 1/n^{3/2} e a série maior é convergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
também converge.

Resposta

A série é convergente, por comparação direta com a série p de termo \tfrac{1}{n^{3/2}}.

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