Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
converge e vale
. Vamos usar frações parciais para simplificar o termo geral e depois empregar a soma conhecida da série harmônica alternada.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Igualando numeradores:
Comparando coeficientes, temos
Logo
Passo 3
Substituindo na série, obtemos
Passo 4
A primeira soma é a série harmônica alternada bem conhecida:
Na segunda, fazemos a mudança de índice
, de modo que quando
temos
, e
. Assim
Mas
e
. Logo
Passo 5
Somando as duas partes: