Mostre que:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2 n+1}{n(n+1)}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n+1}{n(n+1)}
converge e vale 1. Vamos usar frações parciais para simplificar o termo geral e depois empregar a soma conhecida da série harmônica alternada.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}.
Igualando numeradores:
A(n+1) + Bn = 2n+1 \implies (A+B)n + A = 2n+1.
Comparando coeficientes, temos
A+B=2, \quad A=1 \quad\Longrightarrow\quad B=1.
Logo
\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Substituindo na série, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} +\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1}.

Passo 4

A primeira soma é a série harmônica alternada bem conhecida:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} = \ln(2).
Na segunda, fazemos a mudança de índice k=n+1, de modo que quando n=1 temos k=2, e (-1)^{n+1} = (-1)^k. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1} =\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k} =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k} -(-1)^1\frac{1}{1}.
Mas \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k}=-\ln(2) e (-1)^1/1=-1. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1} =-\ln(2)-(-1)=1-\ln(2).

Passo 5

Somando as duas partes:
\ln(2) + \bigl(1-\ln(2)\bigr) = 1.

Resposta

1

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