Estabeleça a convergência ou divergência das séries abaixo, especificando o critério utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}
converge ou diverge, e especificar o critério usado. Aqui o conteúdo é testes de convergência para séries de termos positivos; vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

Recordando o teste da raiz de Cauchy: para a_n\ge0, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n},
então
— se L<1, a série \sum a_n converge;
— se L>1, diverge;
— se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso a_n = 1/(\ln n)^{n}. Calculamos a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}} = \frac{1}{\ln n}.

Passo 4

Agora tomamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n} = 0.
Como 0<1, pelo teste da raiz de Cauchy a série converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}
converge, por aplicação do teste da raiz de Cauchy, pois
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}} =0<1.

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