Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
que é um caso clássico de série telescópica. Vamos usar decomposição em frações parciais para revelar o cancelamento dos termos.
Passo 2
Decompondo o termo geral em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes fica claro que
de onde
e
. Logo
Passo 3
Definindo a soma parcial
observamos o cancelamento em cadeia ao escrever os primeiros termos:
Passo 4
Para obter a soma da série completa, tomamos o limite quando
: