Mostre que:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1},
que é um caso clássico de série telescópica. Vamos usar decomposição em frações parciais para revelar o cancelamento dos termos.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais, escrevemos
\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1) obtemos
1 = A(2n+1) + B(2n-1).
Comparando coeficientes de n e termos constantes fica claro que
2(A+B)=0 \quad\text{e}\quad A - B = 1,
de onde A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Logo
\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Definindo a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr),
observamos o cancelamento em cadeia ao escrever os primeiros termos:
S_{N} =\frac12\Bigl((1-\tfrac13)+(\tfrac13-\tfrac15)+(\tfrac15-\tfrac17)+\cdots+(\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1})\Bigr) =\frac12\Bigl(1-\tfrac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série completa, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac12\Bigl(1-\lim_{N\to\infty}\tfrac{1}{2N+1}\Bigr) =\frac12\,(1-0) =\frac12.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac12.

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