Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+9 y=36 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=-2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da PVI
y'' + 9y = 36,\quad y(0)=0,\;y'(0)=-2
Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) achar a solução complementar (homogênea), (2) uma solução particular e (3) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y_h'' + 9y_h = 0.
Montamos a equação característica
r^2 + 9 = 0 \implies r = \pm 3i.
Logo, a solução homogênea é
y_h(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Buscamos uma solução particular y_p da forma constante, y_p=C. Substituindo em
y_p'' + 9y_p = 36
vem
0 + 9C = 36 \implies C = 4.
Portanto
y_p(x) = 4.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x) + 4.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0
y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) + 4 = A + 4 = 0 \implies A = -4.
Em seguida,
y'(x) = -3A\sin(3x) + 3B\cos(3x),
então y'(0)=-2 implica
y'(0) = -3A\cdot 0 + 3B\cdot1 = 3B = -2 \implies B = -\tfrac{2}{3}.

Resposta

y(x) = -4\cos(3x) - \tfrac{2}{3}\sin(3x) + 4.

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