Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas:
(\operatorname{sen} z)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{sen}z. O conteúdo envolve derivação de funções complexas e, em particular, usamos a representação de Euler para as funções trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos \operatorname{sen}z em termos de exponenciais:
\operatorname{sen}z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.

Passo 3

Derivando termo a termo e lembrando que \frac{d}{dz}e^{az}=a\,e^{az}, obtemos
\frac{d}{dz}\bigl(e^{iz}\bigr)=i\,e^{iz}, \qquad \frac{d}{dz}\bigl(e^{-iz}\bigr)=-i\,e^{-iz}.
Logo,
\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{sen}z\bigr) = \frac{i\,e^{iz} - (-i)\,e^{-iz}}{2i} = \frac{i\,e^{iz} + i\,e^{-iz}}{2i}.

Passo 4

Fatorando i/(2i)=1/2, fica
\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{sen}z\bigr) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \cos z,
pois \cos z=(e^{iz}+e^{-iz})/2.

Resposta

(\operatorname{sen}z)' = \cos z

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