Para uma função real y=e^{f(x)}, temos que y^{\prime}=f^{\prime}(x) e^{f(x)}. Será que
(\exp (f(z)))^{\prime}=f^{\prime}(z) \exp (f(z)),
sendo f uma função analítica?

Passo 1

O enunciado nos lembra que, para uma função real y=e^{f(x)}, vale a regra de derivação
y'=f'(x)\,e^{f(x)}.
Agora perguntam se, no contexto complexo, para uma função analítica f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}, vale
\bigl(\exp(f(z))\bigr)'=f'(z)\,\exp(f(z)).
O conteúdo é a regra da cadeia para funções holomorfas (analíticas).

Passo 2

Sabemos que a função exponencial complexa
\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}
é inteira, ou seja, é analítica em todo \mathbb{C}. Se f é analítica em uma região, então a composição
g(z)=\exp\bigl(f(z)\bigr)
é também analítica nessa região e a regra da cadeia para derivadas de funções holomorfas garante
g'(z)=\exp'\bigl(f(z)\bigr)\,f'(z).

Passo 3

Falta apenas usar que a derivada da exponencial em qualquer ponto w\in\mathbb{C} é ela própria:
\exp'(w)=\exp(w).
Substituindo w=f(z) obtemos
\bigl(\exp(f(z))\bigr)'=\exp'\bigl(f(z)\bigr)\,f'(z) =\exp\bigl(f(z)\bigr)\,f'(z),
que é exatamente o que se queria mostrar.

Passo 4

Como alternativa, nota-se que f admite série de potências
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n
e
\exp(f(z)) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\bigl(f(z)\bigr)^k.
Diferenciando termo a termo (válido por convergência uniforme em discos compactos) resulta
\frac{d}{dz}\exp(f(z)) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k!}\bigl(f(z)\bigr)^{k-1}f'(z) =f'(z)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\bigl(f(z)\bigr)^k =f'(z)\,\exp(f(z)).

Resposta

Sim. Para toda função analítica f vale
\bigl(\exp(f(z))\bigr)'=f'(z)\,\exp(f(z)).

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