Para uma função real
, temos que
. Será que
sendo
uma função analítica?
Passo 1
O enunciado nos lembra que, para uma função real
, vale a regra de derivação
Agora perguntam se, no contexto complexo, para uma função analítica
, vale
O conteúdo é a regra da cadeia para funções holomorfas (analíticas).
Passo 2
Sabemos que a função exponencial complexa
é inteira, ou seja, é analítica em todo
. Se
é analítica em uma região, então a composição
é também analítica nessa região e a regra da cadeia para derivadas de funções holomorfas garante
Passo 3
Falta apenas usar que a derivada da exponencial em qualquer ponto
é ela própria:
Substituindo
obtemos
que é exatamente o que se queria mostrar.
Passo 4
Como alternativa, nota-se que
admite série de potências
e
Diferenciando termo a termo (válido por convergência uniforme em discos compactos) resulta
Resposta
Sim. Para toda função analítica
vale