Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede o domínio de f(x)=arcsen(x²−1) e que se justifique, usando propriedades de funções contínuas, por que f é contínua em todo esse domínio.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que a função arcsen(u) só está definida quando −1≤u≤1. No nosso caso u=x²−1, então resolvemos:
−1≤x²−1≤1 → somando 1 em todas as partes: 0≤x²≤2 → x²≤2 → −√2≤x≤√2. Assim, o domínio de f é [−√2,\u2009√2].
−1≤x²−1≤1 → somando 1 em todas as partes: 0≤x²≤2 → x²≤2 → −√2≤x≤√2. Assim, o domínio de f é [−√2,\u2009√2].
Passo 3
Sabemos que a função interna g(x)=x²−1 é polinomial, logo contínua em ℝ, e que arcsen(u) é contínua para u em [−1,1].
Como a composição de funções contínuas é contínua, f(x)=arcsen(g(x)) é contínua em todo o seu domínio [−√2,\u2009√2].
Como a composição de funções contínuas é contínua, f(x)=arcsen(g(x)) é contínua em todo o seu domínio [−√2,\u2009√2].
Resposta
Domínio: [−√2, √2]. A função é contínua em todo esse domínio porque x²−1 é contínua em ℝ e arcsen(u) é contínua em [−1,1], logo sua composição é contínua em [−√2, √2].