1. Sejam os conjuntos:
Sejam os conjuntos \mathrm{A}=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\}, \mathrm{B}=\{-2,-1,0,1,2\} e R a relação binária de A em B definida por:
x R y \Leftrightarrow x=y^{2}
a) Enumere os pares ordenados de R .
b) Enumere os elementos do domínio e da imagem de R.
c) Faça o gráfico cartesiano de R.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\},\qquad B=\{-2,-1,0,1,2\}
e define a relação R de A em B por
xRy \Leftrightarrow x = y^{2}.
As perguntas são:
(a) Enumere os pares ordenados de R.
(b) Enumere os elementos do domínio e da imagem de R.
(c) Faça o gráfico cartesiano de R (ou seja, indique os pontos (x,y) que pertencem a R e diga como desenhar).

Passo 2

O que significa a condição x=y^{2} na prática? É assim: para cada elemento y de B calcule y^{2}. Se esse quadrado for um elemento que pertence a A, então existe o par ordenado (x,y) em R com x=y^{2}. Aqui o primeiro componente do par é um elemento de A (o x) e o segundo componente é um elemento de B (o y). Vou fazer isso de forma bem direta e sistemática.

Passo 3

Calcule y^{2} para cada y\in B. Vou listar y e y^{2}:
\begin{aligned} y&=-2 &\Rightarrow\quad y^{2}&=(-2)^{2}=4,\\\ y&=-1 &\Rightarrow\quad y^{2}&=(-1)^{2}=1,\\\ y&=0 &\Rightarrow\quad y^{2}&=0^{2}=0,\\\ y&=1 &\Rightarrow\quad y^{2}&=1^{2}=1,\\\ y&=2 &\Rightarrow\quad y^{2}&=2^{2}=4. \end{aligned}
Agora verifico se cada y^{2} pertence a A. Os valores obtidos foram 4,1,0,1,4. Vamos conferir: 4\in A, 1\in A, 0\in A. Portanto, para cada y em B existe um x\in A igual a y^{2}. Ou seja, todos os y de B geram pares em R.

Passo 4

Formando os pares ordenados (x,y) com x=y^{2} e usando os resultados acima, temos:
\begin{aligned} &\text{para } y=-2:\quad (x,y)=(4,-2),\\\ &\text{para } y=-1:\quad (x,y)=(1,-1),\\\ &\text{para } y=0:\quad (x,y)=(0,0),\\\ &\text{para } y=1:\quad (x,y)=(1,1),\\\ &\text{para } y=2:\quad (x,y)=(4,2). \end{aligned}
Note que alguns x se repetem (por exemplo 1 aparece com y=-1 e y=1; 4 aparece com y=-2 e y=2), e isso é perfeitamente normal: uma relação pode associar o mesmo x a vários y.

Passo 5

Agora extraio o domínio de R (os x\in A que aparecem em algum par) e a imagem de R (os y\in B que aparecem em algum par).
  • Os x listados nos pares são 4,1,0,1,4. Como conjunto (sem repetições) o domínio é
\{0,1,4\}.
  • Os y que apareceram são exatamente todos os elementos de B, pois cada y\in B gerou um par. Logo a imagem é
\{-2,-1,0,1,2\},
que é igual a B.

Passo 6

Para fazer o gráfico cartesiano de R (o gráfico de uma relação é justamente o conjunto de pontos (x,y) no plano), basta plotar os pares ordenados encontrados como pontos no plano. Os pontos são:
(4,-2),\quad (1,-1),\quad (0,0),\quad (1,1),\quad (4,2).
Como desenhar na prova sem complicação:
  • Desenhe um sistema de eixos com marcações horizontais nos valores de x que aparecem em A (pelo menos em 0,1,4) e marcações verticais nos valores de y que aparecem em B (pelo menos em -2,-1,0,1,2).
  • Marque pontos preenchidos (●) nos cinco pares acima.
  • Você verá dois pontos na coluna x=1 (em y=-1 e em y=1) e dois pontos na coluna x=4 (em y=-2 e em y=2), mais um ponto isolado em (0,0).

Resposta

(a) \{(4,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(4,2)\}
(b) domínio: \{0,1,4\} \n imagem: \{-2,-1,0,1,2\}
(c) pontos do gráfico: (4,-2),\\ (1,-1),\\ (0,0),\\ (1,1),\\ (4,2)

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