Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (2,3,1) e é simultaneamente ortogonal às retas dadas por:
r1:lx=3 y=1 z=t e r2:lx=s y=1-2 s z=-3-s
Qual das alternativas abaixo corresponde às equações paramétricas da reta procurada?
(A)
l x=2+6 y=3+t z=1+1
(B)
l x=2+5 t y=3-3 t z=1-t
(C)
l x=2+4 t y=3+2 t z=1-3 t
(D)
l x=2+t y=3-t z=1-2 t

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por P=(2,3,1) e cuja direção é simultaneamente ortogonal às direções de
r1:,(0,0,1) e r2:,(1,-2,-1)
Em geometria analítica dizemos que duas retas são “ortogonais” quando seus vetores direção têm produto escalar zero.

Passo 2

Seja v=(a,b,c) o vetor direção da reta procurada. Para que v seja ortogonal a (0,0,1) e a (1,-2,-1) precisamos de
vcdot(0,0,1)=c=0, vcdot(1,-2,-1)=a-2b-1cdot c=a-2b=0
Daí c=0 e a=2b. Podemos escolher b=1, então
v=(2,1,0)

Passo 3

Com direção v=(2,1,0) e passando por P=(2,3,1), as equações paramétricas da reta são
x=2+2t, y=3+t, z=1+0;t,
ou, de modo abreviado,
x=2+2t, y=3+t, z=1

Passo 4

Nenhuma das alternativas (A), (B), (C) ou (D) tem vetor direção proporcional a (2,1,0) (todas apresentam coeficiente de t em z diferente de zero), portanto nenhuma delas coincide com
x=2+2t, y=3+t, z=1

Resposta

Nenhuma das alternativas dadas.

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