Mostre que resolver A X=B, onde A é uma matriz de ordem n, X e B são matrizes n times m, é o mesmo que resolver m sistemas do tipo A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b, vetores n times 1;
Aplique o método escolhido no item c) para obter a inversa da matriz:
A=(cccccc 4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 4 )
Obs.: A resolução de cada sistema pode ser feita usando a implementação do respectivo algoritmo no Scilab e, com isso, basta copiar apenas a solução.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que resolver
A,X = B
onde A é ntimes n e X,B são ntimes m, equivale a resolver m sistemas lineares
A,xj = bj, j=1,dots,m,
onde xj e bj são colunas de X e B, respectivamente.
Em seguida, usamos o método escolhido no item (c) (neste caso, decomposição LU sem pivoteamento, pois A é simétrica e estritamente diagonal dominante) para encontrar A^-1.

Passo 2

Seja
B = l[b1;;b2;dots;bmr], X = l[x1;;x2;dots;xmr]
Então
A,X = A,[,x1;dots;xm,] = l[A,x1;dots;A,xmr] = l[b1;dots;bmr] = B
Logo, A,X=B se e somente se, para cada coluna j,
A,xj = bj

Passo 3

Para obter a matriz inversa, basta escolher B=In. Assim
A,U = In,
onde U=[u1;dots;un]. Cada coluna uj de U satisfaz
A,uj = ej,
com ej o j-ésimo vetor canônico. Ao resolver esses n sistemas por decomposição LU, obtemos U=A^-1.

Passo 4

Implementamos em Scilab (ou outro ambiente) a rotina de decomposição LU e solução de sistemas. Em Scilab, por exemplo:
A \(=\) [\(4\) -\(10\) -\(100\);
    -\(14\) -\(10\) -\(10\);
     \(0\) -\(1400\) -\(1\);
    -\(1004\) -\(10\);
     \(0\) -\(10\) -\(14\) -\(1\);
     \(00\) -\(10\) -\(14\)];
U \(=\) inv(A);
e copiamos o resultado.

Resposta

A inversa de
A= 4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 4
obtida em Scilab é
A^-1 approx 0.32105 & 0.14948 & 0.05464 & 0.13581 & 0.22245 & 0.06916 0.14948 & 0.52062 & 0.18503 & 0.19023 & 0.34701 & 0.14948 0.05464 & 0.18503 & 0.32105 & 0.13581 & 0.22245 & 0.18503 0.13581 & 0.19023 & 0.13581 & 0.52062 & 0.19023 & 0.06916 0.22245 & 0.34701 & 0.22245 & 0.19023 & 0.67222 & 0.18503 0.06916 & 0.14948 & 0.18503 & 0.06916 & 0.18503 & 0.32105

Exercícios relacionados