Mostre que resolver , onde é uma matriz de ordem e são matrizes , é o mesmo que resolver sistemas do tipo , onde é uma matriz e , vetores ;
Aplique o método escolhido no item c) para obter a inversa da matriz:
Obs.: A resolução de cada sistema pode ser feita usando a implementação do respectivo algoritmo no Scilab e, com isso, basta copiar apenas a solução.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que resolver
A,X = B
onde A é ntimes n e X,B são ntimes m, equivale a resolver m sistemas lineares
A,xj = bj, j=1,dots,m,
onde xj e bj são colunas de X e B, respectivamente.
Em seguida, usamos o método escolhido no item (c) (neste caso, decomposição LU sem pivoteamento, pois A é simétrica e estritamente diagonal dominante) para encontrar A^-1.
Passo 2
Seja
B = l[b1;;b2;dots;bmr], X = l[x1;;x2;dots;xmr]
Então
A,X = A,[,x1;dots;xm,] = l[A,x1;dots;A,xmr] = l[b1;dots;bmr] = B
Logo, A,X=B se e somente se, para cada coluna j,
A,xj = bj
Passo 3
Para obter a matriz inversa, basta escolher B=In. Assim
A,U = In,
onde U=[u1;dots;un]. Cada coluna uj de U satisfaz
A,uj = ej,
com ej o j-ésimo vetor canônico. Ao resolver esses n sistemas por decomposição LU, obtemos U=A^-1.
Passo 4
Implementamos em Scilab (ou outro ambiente) a rotina de decomposição LU e solução de sistemas. Em Scilab, por exemplo: