Verdadeiro ou Falso? Justifique:
Se A é 3 times 5 de posto 3 , então A^T A é invertível?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dada uma matriz de tamanho com posto , a matriz (que é ) é invertível. O conteúdo aqui é teoria de posto de matrizes, núcleo (nullspace) e critério de invertibilidade via injeção.

Passo 2

Como é e , a dimensão do espaço de colunas de é 3 e, pelo Teorema da Dimensão,
Isso significa que existem vetores não nulos tais que .

Passo 3

Para qualquer vetor xinR^5 com A x=0, temos
A^T A,x = A^T,(A x)=A^T,0 = 0
Ou seja, todo vetor não nulo do núcleo de A também pertence ao núcleo de A^TA, mostrando que ker(A^TA) é não-trivial.

Passo 4

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu núcleo for 0. Aqui ker(A^TA) contém vetores não nulos, logo A^TA não é injetora e consequentemente não é invertível.

Resposta

Falso. A^TA é singular porque diml(ker(A^TA)r)=2>0, então não há inversa.

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