Verdadeiro ou Falso? Justifique:
Se
é
de posto 3 , então
é invertível?
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dada uma matriz
de tamanho
com posto , a matriz
(que é
) é invertível. O conteúdo aqui é teoria de posto de matrizes, núcleo (nullspace) e critério de invertibilidade via injeção.
Passo 2
Como
é
e , a dimensão do espaço de colunas de
é 3 e, pelo Teorema da Dimensão,
Isso significa que existem vetores não nulos
tais que
.
Passo 3
Para qualquer vetor
com
, temos
Ou seja, todo vetor não nulo do núcleo de
também pertence ao núcleo de
, mostrando que
é não-trivial.
Passo 4
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu núcleo for
. Aqui
contém vetores não nulos, logo
não é injetora e consequentemente não é invertível.
Resposta
Falso.
é singular porque
, então não há inversa.