Seja I: R^2 R^2 e as bases A=(1,0),(0,-1) e B=(2,0),(3,1). Encontre a matriz de mudança de base:
de A para B ([I]B^A);

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de A para B para o operador identidade I:R^2toR^2. Isso significa que, dado um vetor v com coordenadas [v]A, queremos encontrar a matriz P=[I]B^A tal que
[v]B ;=; P,[v]A
Para isso, basta expressar cada vetor da base A em coordenadas da base B.

Passo 2

Chamemos de A1=(1,0) e A2=(0,-1) os vetores de A, e de B1=(2,0), B2=(3,1) os vetores de B. Precisamos encontrar escalares x,y tais que
Ai = x,B1 + y,B2,
pois então l(x,yr) será a coluna i de P.

Passo 3

Para A1=(1,0) resolvemos
(1,0) = x,(2,0) + y,(3,1) = (2x+3y,;y)
Igualando coordenadas, temos y=0 e 2x=1, logo x=tfrac12. Assim,
[ A1 ]B = tfrac12[6pt]0 ]

Passo 4

Para A2=(0,-1) resolvemos
(0,-1) = x,(2,0) + y,(3,1) = (2x+3y,;y)
Dessa forma y=-1 e 2x+3(-1)=0 implica 2x=3, logo x=tfrac32. Então
[ A2 ]B = tfrac32[6pt]-1 ]

Passo 5

Montando P=[I]B^A com essas colunas, obtemos
[I]B^A = tfrac12 & tfrac32[6pt] 0 & -1 ]

Resposta

[I]B^A = tfrac12 & tfrac32 0 & -1

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