Estabeleça as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,-2);

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos determinar as equações da reta que passa pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,-2). O conteúdo envolve encontrar o vetor diretor a partir de A e B e depois escrever a equação vetorial, as paramétricas, a simétrica e a forma reduzida.

Passo 2

Para obter o vetor diretor vec v basta fazer AB = B - A. Assim,
vec v = (3,0,-2) - (2,-1,3) = (1,1,-5)

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando o ponto A como referência, é
vec r(t) = (2,-1,3) + t,(1,1,-5)

Passo 4

As equações paramétricas vêm de decompor vec r(t) nas três coordenadas:
x = 2 + t, y = -1 + t e z = 3 - 5t.

Passo 5

A equação simétrica (ou contínua) elimina o parâmetro t:
x-21 ;=;y+11;=;z-3-5

Passo 6

Na forma reduzida podemos escrever y e z em função de x. Como de x=2+t segue t=x-2, então
y=-1+(x-2)=x-3 e z=3-5(x-2)=13-5x.

Resposta

vec r(t) = (2,-1,3) + t,(1,1,-5)
Equações paramétricas:
x = 2 + t, y = -1 + t, z = 3 - 5t
Equação simétrica:
x-21 = y+11 = z-3-5
Equações reduzidas:
y = x - 3 e z = 13 - 5x

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