Estabeleça as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
passa pelo ponto A(-6,7,9) é paralela ao vetor v=(-2,0,-2);

Passo 1

O enunciado pede as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa por A(-6,7,9) e tem direção dada por vec v = (-2,0,-2). O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: usamos a fórmula da equação vetorial de reta, depois extraímos as formas paramétrica, simétrica (dividindo pelas componentes) e reduzida (eliminando o parâmetro).

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por r0 e tem vetor direção vec v é
r = r0 + t,vec v
Aqui r0 = lang<= -6,7,9rang<= e vec v = lang<= -2,0,-2rang<=. Logo,
r = lang<= -6,7,9rang<= + t,lang<= -2,0,-2rang<=

Passo 3

Para obter a forma paramétrica, escrevemos componentes de r:
x = -6 - 2t,
y = 7 + 0cdot t implies y = 7,
z = 9 - 2t

Passo 4

Na forma simétrica, dividimos as diferenças pelas componentes do vetor direção. Como a componente em y é zero, impomos y=7 e usamos apenas x e z:
x + 6-2 ;=;z - 9-2, y = 7

Passo 5

A forma reduzida elimina o parâmetro e expressa duas equações cartesianas. Da paramétrica, temos
t = -x+62 e t = -z-92,
logo
-x+62 = -z-92 ;Longrightarrow; x + 6 = z - 9 ;Longrightarrow; x - z + 15 = 0,
e ainda
y = 7 ;Longrightarrow; y - 7 = 0

Resposta

Equação vetorial
r = lang<= -6,7,9rang<= + t,lang<= -2,0,-2rang<=
Equação paramétrica
x = -6 - 2t, y = 7, z = 9 - 2t
Equação simétrica
x + 6-2 = z - 9-2, y = 7
Equação reduzida
x - z + 15 = 0, y - 7 = 0

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