Verificar se os conjuntos são subespaços :
W=\{\left( \begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right) \in M_{2}® / y+z=-x\}\.

Passo 1

O enunciado define
W = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid y+z=-x\Bigr\}
e pergunta se W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar o critério clássico de subespaço:
  1. Verificar que a matriz zero pertence a W.
  2. Verificar que W é fechado sob soma.
  3. Verificar que W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Matriz zero: \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Aqui x=0, y=0, z=0. Então
y+z = 0+0 = 0 \quad\text{e}\quad -x = -0 = 0,
logo y+z=-x vale para \mathbf{0}. Assim, \mathbf{0}\in W.]

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
A = \begin{pmatrix}x_1 & y_1 \\[4pt] z_1 & t_1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x_2 & y_2 \\[4pt] z_2 & t_2\end{pmatrix}
duas matrizes em W. Então
y_1 + z_1 = -x_1 \quad\text{e}\quad y_2 + z_2 = -x_2.
Somando as duas igualdades:
(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = -(x_1+x_2).
Isto mostra que A+B = \begin{pmatrix}x_1+x_2 & y_1+y_2 \\[4pt] z_1+z_2 & t_1+t_2\end{pmatrix} também satisfaz a condição, logo A+B\in W.]

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
A = \begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & t\end{pmatrix}\in W,
ou seja, y+z=-x. Multiplicando por \lambda, obtemos
\lambda y + \lambda z = \lambda\,(y+z) = \lambda\,(-x) = -(\lambda x).
Portanto
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda x & \lambda y \\[4pt] \lambda z & \lambda t\end{pmatrix}
também satisfaz \lambda y+\lambda z = -(\lambda x), logo \lambda A\in W.]

Resposta

W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).

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