Estabeleça uma expressão para
como um limite de somas.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a integral definida de 1 até a de e^x como um limite de somas de Riemann, usando o conceito de integral como soma de áreas de retângulos. Vamos usar a definição de integral de Riemann.
Passo 2
Dividimos o intervalo [1,a] em n subintervalos de mesmo comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
Passo 3
Escolhemos como ponto de amostra em cada subintervalo o extremo direito. Assim, o i-ésimo ponto é
$$
x_i=1+i,\Delta x=1+i\frac{a-1}{n}.$$
Passo 4
A soma de Riemann para a função f(x)=e^x usando esses pontos é
$$
S_n=\sum_{i=1}^n e^{x_i},\Delta x=\sum_{i=1}^n e^{1+i\frac{a-1}{n}}\cdot\frac{a-1}{n}.$$
Passo 5
Por definição de integral de Riemann, tomamos o limite de S_n quando n tende a infinito. Obtemos assim a expressão pedida.