Indique a afirmação falsa.
(a) Seja
diferenciável, tal que
para cada
e
para cada
. Então
para todo
.
(a) Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável e nunca é zero no intervalo
. Além disso, a função satisfaz a equação
para todo
. A afirmação que precisamos verificar é: "Então
para todo
". Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
e verificar se ela satisfaz a equação dada. Calculando o lado esquerdo da equação:
Agora, calculando o lado direito:
Os dois lados são iguais, então
é uma solução válida.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é a única solução possível para a equação
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia e o teorema fundamental do cálculo:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(sabendo que
):
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, consideramos o valor em
:
Portanto, a única solução é
.
Resposta
A afirmação (a) é verdadeira.