Indique a afirmação falsa.
(a) Seja f:[0,1] R diferenciável, tal que f(x) neq 0 para cada x in(0,1) e (f(x))^2=2 integral0^x f(t) d t para cada x in[0,1]. Então f(x)=x para todo x in[0,1].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável e nunca é zero no intervalo . Além disso, a função satisfaz a equação para todo . A afirmação que precisamos verificar é: "Então para todo ". Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que (f(x))^2 = x^2 e verificar se ela satisfaz a equação dada. Calculando o lado esquerdo da equação:
2 integral0^x f(t) , dt = 2 integral0^x t , dt = 2 [ t^22 ]0^x = x^2
Agora, calculando o lado direito:
Os dois lados são iguais, então é uma solução válida.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se ddx ( f(x)^2 ) = ddx ( 2 integral0^x f(t) , dt ) é a única solução possível para a equação 2 f(x) f'(x) = 2 f(x) . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a f'(x) = 1 :
f(x) = x + C
Aplicando a regra da cadeia e o teorema fundamental do cálculo:
(f(0))^2 = 2 integral0^0 f(t) , dt Rightarrow (C)^2 = 0 Rightarrow C = 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (sabendo que ):
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , consideramos o valor em :
Portanto, a única solução é .

Resposta

A afirmação (a) é verdadeira.

Exercícios relacionados