Seja G um grupo e considere as seguinte afirmações:
(III) Se M é subgrupo maximal de G, então Z(G) <= M ou M ⊆ G.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo e uma afirmação sobre subgrupos máximos de . Precisamos analisar a seguinte afirmação:
(III) Se é um subgrupo maximal de , então ou .
Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria de grupos, especificamente subgrupos máximos, o centro de um grupo , e subgrupos normais. Vamos precisar entender esses conceitos para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo maximal. Um subgrupo de é maximal se não existe nenhum subgrupo de que contenha além de mesmo. Ou seja, é “um degrau abaixo” de na hierarquia de subgrupos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o centro de um grupo, denotado por . O centro de é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de :
O centro é sempre um subgrupo normal de .

Passo 4

Também precisamos entender o que significa um subgrupo ser normal, denotado por . Isso quer dizer que é invariante sob conjugação por qualquer elemento de :
Subgrupos normais são importantes porque permitem a formação de quocientes de grupos.

Passo 5

Vamos agora analisar a afirmação ou quando é um subgrupo maximal. Queremos provar que pelo menos uma dessas duas condições deve ser verdadeira.

Passo 6

Primeiro, suponha que , ou seja, o centro de não está contido em . Isso significa que existe pelo menos um elemento no centro que não está em .

Passo 7

Considerando que é maximal, qualquer subgrupo que contenha deve ser . Então, se adicionarmos um elemento do centro fora de a , obteremos .

Passo 8

Agora, observe que está contido no núcleo da ação de sobre os quocientes de . Isso implica que contém o centro ou é normal. Como assumimos que , devemos concluir que é normal em .

Passo 9

Portanto, provamos que se não contém o centro de , então deve ser um subgrupo normal de .

Resposta

Concluímos que, se é um subgrupo maximal de , então ou o centro está contido em ou é um subgrupo normal de . Ou seja, a afirmação (III) é verdadeira.

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