Seja
um grupo e considere as seguinte afirmações:
(III) Se
é subgrupo maximal de
, então
ou
.
(III) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo
e uma afirmação sobre subgrupos máximos de
. Precisamos analisar a seguinte afirmação:
(III) Se
é um subgrupo maximal de
, então
ou
.
Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria de grupos, especificamente subgrupos máximos, o centro de um grupo
, e subgrupos normais. Vamos precisar entender esses conceitos para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo maximal. Um subgrupo
de
é maximal se não existe nenhum subgrupo de
que contenha
além de
mesmo. Ou seja,
é “um degrau abaixo” de
na hierarquia de subgrupos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o centro de um grupo, denotado por
. O centro de
é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de
:
O centro é sempre um subgrupo normal de
.
Passo 4
Também precisamos entender o que significa um subgrupo ser normal, denotado por
. Isso quer dizer que
é invariante sob conjugação por qualquer elemento de
:
Subgrupos normais são importantes porque permitem a formação de quocientes de grupos.
Passo 5
Vamos agora analisar a afirmação
ou
quando
é um subgrupo maximal. Queremos provar que pelo menos uma dessas duas condições deve ser verdadeira.
Passo 6
Primeiro, suponha que
, ou seja, o centro de
não está contido em
. Isso significa que existe pelo menos um elemento no centro que não está em
.
Passo 7
Considerando que
é maximal, qualquer subgrupo que contenha
deve ser
. Então, se adicionarmos um elemento do centro fora de
a
, obteremos
.
Passo 8
Agora, observe que
está contido no núcleo da ação de
sobre os quocientes de
. Isso implica que
contém o centro ou é normal. Como assumimos que
, devemos concluir que
é normal em
.
Passo 9
Portanto, provamos que se
não contém o centro de
, então
deve ser um subgrupo normal de
.
Resposta
Concluímos que, se
é um subgrupo maximal de
, então ou o centro
está contido em
ou
é um subgrupo normal de
. Ou seja, a afirmação (III) é verdadeira.