Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal. y=2 x^{3}, y=2 x, x=0 e x=1. Resposta: 27,09 \mathrm{~cm}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá as curvas
y=2x^3,\qquad y=2x,
e as retas verticais
x=0,\qquad x=1,
e pede a área da superfície gerada pela rotação dessas curvas em torno do eixo cartesiano horizontal. As perguntas implícitas são:
Qual é a superfície gerada pela rotação de cada curva (no intervalo 0\le x\le1) em torno do eixo horizontal (ou seja, do eixo x)?
Qual é a área total da(s) superfície(s) gerada(s) por essas curvas (e pelas retas x=0 e x=1, se contribuírem)?
Informações relevantes fornecidas:
Intervalo de rotação: x\in[0,1].
As funções são y_1(x)=2x^3 e y_2(x)=2x.
O eixo de rotação é o eixo x (eixo cartesiano horizontal).
As retas x=0 e x=1 também fazem parte da fronteira da região, mas precisamos checar, ao calcular, se a rotação delas gera área não nula.
Passo 2
Apresentando a fórmula que vamos usar (a explicação do porquê vem logo após, passo a passo): se uma curva dada por y=f(x) é rodada em torno do eixo x no intervalo a\le x\le b, a área da superfície gerada é
S \;=\; 2\pi \int_a^b y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^2}\,dx,
onde y'=dy/dx. Aqui:
y é a distância (raio) do ponto (x,y) ao eixo x;
\sqrt{1+(y')^2}\,dx é o comprimento de arco infinitesimal ds da curva;
o fator 2\pi y é o comprimento da circunferência descrita pelo ponto (x,y) ao girar em torno do eixo x;
multiplicando 2\pi y por ds e integrando obtemos a área lateral total da superfície gerada.
Vou aplicar essa fórmula separadamente a cada curva y=2x e y=2x^3 no intervalo [0,1]. As retas verticais x=0 e x=1 serão analisadas: ao girar uma reta vertical x=c em torno do eixo x a área gerada é
S_2 = 4\pi I = 4\pi\cdot\frac{1}{216}\left(37^{3/2}-1\right) =\frac{\pi}{54}\left(37^{3/2}-1\right).
Esse é um resultado exato para a área gerada pela curva y=2x^3.
Cálculo numérico aproximado:
Primeiro calcule 37^{3/2}=37\sqrt{37}. Usando \sqrt{37}\approx6{,}08276253 tem-se 37^{3/2}\approx225{,}0612.
Então 37^{3/2}-1\approx224{,}0612.
Dividindo por 54 obtém-se \approx4{,}1493.
Multiplicando por \pi dá S_2\approx 13{,}040 (aproximação).
Passo 7
Analisando as retas verticais x=0 e x=1:
Para x=0, ambas as curvas têm y(0)=0. Rotacionando o segmento em x=0 (que é só o ponto (0,0)) gera área nula.
Para x=1, temos y(1)=2 tanto para y=2x quanto para y=2x^3, ou seja, os dois pontos coincidem em (1,2). O segmento vertical entre as duas curvas em x=1 tem comprimento zero, portanto sua rotação não gera área adicional.
Logo, as retas x=0 e x=1 não contribuem para área de superfície.
Passo 8
A área total gerada pela rotação das curvas dadas é a soma das áreas de cada curva: