Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal.
y=2 x^{3}, y=2 x, x=0 e x=1. Resposta: 27,09 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as curvas
y=2x^3,\qquad y=2x,
e as retas verticais
x=0,\qquad x=1,
e pede a área da superfície gerada pela rotação dessas curvas em torno do eixo cartesiano horizontal. As perguntas implícitas são:
  • Qual é a superfície gerada pela rotação de cada curva (no intervalo 0\le x\le1) em torno do eixo horizontal (ou seja, do eixo x)?
  • Qual é a área total da(s) superfície(s) gerada(s) por essas curvas (e pelas retas x=0 e x=1, se contribuírem)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Intervalo de rotação: x\in[0,1].
  • As funções são y_1(x)=2x^3 e y_2(x)=2x.
  • O eixo de rotação é o eixo x (eixo cartesiano horizontal).
  • As retas x=0 e x=1 também fazem parte da fronteira da região, mas precisamos checar, ao calcular, se a rotação delas gera área não nula.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (a explicação do porquê vem logo após, passo a passo): se uma curva dada por y=f(x) é rodada em torno do eixo x no intervalo a\le x\le b, a área da superfície gerada é
S \;=\; 2\pi \int_a^b y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^2}\,dx,
onde y'=dy/dx. Aqui:
  • y é a distância (raio) do ponto (x,y) ao eixo x;
  • \sqrt{1+(y')^2}\,dx é o comprimento de arco infinitesimal ds da curva;
  • o fator 2\pi y é o comprimento da circunferência descrita pelo ponto (x,y) ao girar em torno do eixo x;
  • multiplicando 2\pi y por ds e integrando obtemos a área lateral total da superfície gerada.
Vou aplicar essa fórmula separadamente a cada curva y=2x e y=2x^3 no intervalo [0,1]. As retas verticais x=0 e x=1 serão analisadas: ao girar uma reta vertical x=c em torno do eixo x a área gerada é
S_{\text{reta vertical}} \;=\; 2\pi\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} y\,\sqrt{1+\bigl(dx/dy\bigr)^2}\,dy,
mas se a reta é vertical x=c então dx/dy=0 e isso reduz a \pi\bigl(y_{\max}^2-y_{\min}^2\bigr). Vamos verificar esses extremos quando necessário.

Passo 3

Calculemos a área gerada pela rotação da reta y=2x, x\in[0,1].
Primeiro a derivada:
y'= \frac{d}{dx}(2x)=2.
Aplicando a fórmula
S_1 \;=\; 2\pi\int_0^1 y\sqrt{1+(y')^2}\,dx \;=\; 2\pi\int_0^1 (2x)\sqrt{1+2^2}\,dx \;=\; 2\pi\int_0^1 2x\sqrt{5}\,dx.
Fatoramos constantes:
S_1 \;=\; 2\pi\cdot 2\sqrt{5}\int_0^1 x\,dx \;=\; 4\pi\sqrt{5}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \;=\; 4\pi\sqrt{5}\cdot\frac{1}{2} \;=\; 2\pi\sqrt{5}.
Portanto, de forma exata,
S_1 = 2\pi\sqrt{5}.
Valor numérico aproximado (para conferência):
S_1 \approx 2\pi\cdot 2{,}2360679 \approx 14{,}0496\\ (\mathrm{unidades}^2).

Passo 4

Agora calculemos a área gerada pela rotação da curva y=2x^3, x\in[0,1].
Primeiro a derivada:
y'=\frac{d}{dx}(2x^3)=6x^2.
A fórmula dá
S_2 \;=\; 2\pi\int_0^1 y\sqrt{1+(y')^2}\,dx \;=\; 2\pi\int_0^1 (2x^3)\sqrt{1+(6x^2)^2}\,dx \;=\; 4\pi\int_0^1 x^3\sqrt{1+36x^4}\,dx.

Passo 5

Para avaliar a integral
I=\int_0^1 x^3\sqrt{1+36x^4}\,dx
fazemos a substituição natural u=1+36x^4. Então
du = 144x^3\,dx \quad\Rightarrow\quad x^3\,dx=\frac{du}{144}.
Quando x=0 temos u=1. Quando x=1 temos u=1+36=37. Assim
I=\int_{u=1}^{37} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{144} =\frac{1}{144}\int_1^{37} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\frac{1}{144}\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_1^{37} =\frac{1}{144}\cdot\frac{2}{3}\left(u^{3/2}\right)\Big|_1^{37} =\frac{1}{216}\left(37^{3/2}-1\right).

Passo 6

Voltando para S_2:
S_2 = 4\pi I = 4\pi\cdot\frac{1}{216}\left(37^{3/2}-1\right) =\frac{\pi}{54}\left(37^{3/2}-1\right).
Esse é um resultado exato para a área gerada pela curva y=2x^3.
Cálculo numérico aproximado:
  • Primeiro calcule 37^{3/2}=37\sqrt{37}. Usando \sqrt{37}\approx6{,}08276253 tem-se 37^{3/2}\approx225{,}0612.
  • Então 37^{3/2}-1\approx224{,}0612.
  • Dividindo por 54 obtém-se \approx4{,}1493.
  • Multiplicando por \pi S_2\approx 13{,}040 (aproximação).

Passo 7

Analisando as retas verticais x=0 e x=1:
  • Para x=0, ambas as curvas têm y(0)=0. Rotacionando o segmento em x=0 (que é só o ponto (0,0)) gera área nula.
  • Para x=1, temos y(1)=2 tanto para y=2x quanto para y=2x^3, ou seja, os dois pontos coincidem em (1,2). O segmento vertical entre as duas curvas em x=1 tem comprimento zero, portanto sua rotação não gera área adicional.
Logo, as retas x=0 e x=1 não contribuem para área de superfície.

Passo 8

A área total gerada pela rotação das curvas dadas é a soma das áreas de cada curva:
S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = 2\pi\sqrt{5} \;+\; \frac{\pi}{54}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).
Podemos escrever de forma compacta:
S_{\text{total}} = \pi\left(2\sqrt{5}+\frac{37^{3/2}-1}{54}\right).
Fazendo a aproximação numérica com duas casas decimais:
S_{\text{total}}\approx 27{,}09\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

27,09\\ \mathrm{cm}^2

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