Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal. y=x^{2} e y=\sqrt{x}. Resposta: 9,14 \mathrm{~cm}^{2}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Curvas dadas: y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
Pede: a área da superfície(s) gerada(s) pela rotação das curvas em torno do eixo cartesiano horizontal (eixo x).
Informação importante (a identificar): as duas curvas se intersectam em dois pontos; a rotação será considerada entre esses pontos de interseção.
Não há outras restrições no enunciado (por ex., unidades ou orientações diferentes), então vamos trabalhar no intervalo entre as interseções e somar as áreas das superfícies geradas por cada curva.
Passo 2
Fórmula geral e ideia física:
Quando uma curva y=f(x) é rotacionada em torno do eixo x no intervalo [a,b], a área da superfície gerada é dada por
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Intuição curta: dividimos a curva em pequenos pedaços de comprimento aproximadamente ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx. Cada pedaço gera um pequeno frustum (faixa) de raio y e comprimento ds, cuja área lateral é aproximadamente 2\pi y\,ds. Somando (integrando) obtemos a fórmula acima.
Aqui y é a ordenada da curva (distância ao eixo x), y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada, e x é a variável de integração.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção (limites de integração):
Igualamos as curvas:
x^{2}=\sqrt{x}.
Colocando t=\sqrt{x} (com t\ge 0) dá t^{4}=t, ou t(t^{3}-1)=0. Logo t=0 ou t=1.
Volta para x: x=0 ou x=1.
Portanto as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Esses serão os limites de integração.
Passo 4
Estratégia de resolução:
Vamos calcular separadamente a área da superfície gerada por y=\sqrt{x} no intervalo [0,1] (chamo de S_{2}) e a área da superfície gerada por y=x^{2} no mesmo intervalo (chamo de S_{1}), e então somar:
S_{\text{total}}=S_{1}+S_{2}.
Vou mostrar passo a passo o cálculo de cada integral, incluindo as derivadas, as substituições e as manipulações algébricas para chegar a uma expressão fechada e ao valor numérico.
Para calcular a integral definida usamos a substituição hiperbólica conveniente x=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t. Detalhes:
Se x=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t então dx=\dfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt.
Além disso \sqrt{1+4x^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t.
Quando x=0\Rightarrow t=0. Quando x=1\Rightarrow \operatorname{sinh} t=2\Rightarrow t=\operatorname{arcsinh}2=\ln(2+\sqrt{5}). Denotemos a=\operatorname{arcsinh}2.
Usamos a identidade \operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t=(\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t)^{2}=\dfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}(2t). Então