Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal.
y=x^{2} e y=\sqrt{x}. Resposta: 9,14 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Curvas dadas: y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
  • Pede: a área da superfície(s) gerada(s) pela rotação das curvas em torno do eixo cartesiano horizontal (eixo x).
  • Informação importante (a identificar): as duas curvas se intersectam em dois pontos; a rotação será considerada entre esses pontos de interseção.
  • Não há outras restrições no enunciado (por ex., unidades ou orientações diferentes), então vamos trabalhar no intervalo entre as interseções e somar as áreas das superfícies geradas por cada curva.

Passo 2

Fórmula geral e ideia física:
  • Quando uma curva y=f(x) é rotacionada em torno do eixo x no intervalo [a,b], a área da superfície gerada é dada por
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
  • Intuição curta: dividimos a curva em pequenos pedaços de comprimento aproximadamente ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx. Cada pedaço gera um pequeno frustum (faixa) de raio y e comprimento ds, cuja área lateral é aproximadamente 2\pi y\,ds. Somando (integrando) obtemos a fórmula acima.
  • Aqui y é a ordenada da curva (distância ao eixo x), y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada, e x é a variável de integração.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (limites de integração):
  • Igualamos as curvas:
x^{2}=\sqrt{x}.
  • Colocando t=\sqrt{x} (com t\ge 0) dá t^{4}=t, ou t(t^{3}-1)=0. Logo t=0 ou t=1.
  • Volta para x: x=0 ou x=1.
  • Portanto as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Esses serão os limites de integração.

Passo 4

Estratégia de resolução:
  • Vamos calcular separadamente a área da superfície gerada por y=\sqrt{x} no intervalo [0,1] (chamo de S_{2}) e a área da superfície gerada por y=x^{2} no mesmo intervalo (chamo de S_{1}), e então somar:
S_{\text{total}}=S_{1}+S_{2}.
  • Vou mostrar passo a passo o cálculo de cada integral, incluindo as derivadas, as substituições e as manipulações algébricas para chegar a uma expressão fechada e ao valor numérico.

Passo 5

Cálculo de S_{2} para y=\sqrt{x} em [0,1]:
  • Primeiro a derivada:
y=\sqrt{x}=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Aplicando a fórmula:
S_{2}=2\pi\int_{0}^{1} y\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx =2\pi\int_{0}^{1} \sqrt{x}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{2}}\,dx.
  • Simplificar a expressão dentro da raiz:
1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{2}=1+\frac{1}{4x}=\frac{4x+1}{4x}.
  • Então
\sqrt{x}\sqrt{\frac{4x+1}{4x}}=\sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}.
  • Portanto
S_{2}=2\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}\,dx=\pi\int_{0}^{1}\sqrt{4x+1}\,dx.
  • Fazer a substituição u=4x+1\Rightarrow du=4dx. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=5. Assim
S_{2}=\pi\int_{1}^{5}\sqrt{u}\,\frac{du}{4}=\frac{\pi}{4}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{\pi}{4}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5}.
  • Obtemos
S_{2}=\frac{\pi}{6}\left(5^{3/2}-1\right)=\frac{\pi}{6}\left(5\sqrt{5}-1\right).

Passo 6

Cálculo de S_{1} para y=x^{2} em [0,1]:
  • Derivada:
y=x^{2}\quad\Rightarrow\quad y'=2x.
  • Fórmula:
S_{1}=2\pi\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1+(2x)^{2}}\,dx =2\pi\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.
  • Para calcular a integral definida usamos a substituição hiperbólica conveniente x=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t. Detalhes:
    • Se x=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t então dx=\dfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt.
    • Além disso \sqrt{1+4x^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t.
    • Quando x=0\Rightarrow t=0. Quando x=1\Rightarrow \operatorname{sinh} t=2\Rightarrow t=\operatorname{arcsinh}2=\ln(2+\sqrt{5}). Denotemos a=\operatorname{arcsinh}2.
  • Substituindo na integral:
x^{2}=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}t,\qquad \sqrt{1+4x^{2}}=\operatorname{cosh} t,\qquad dx=\frac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt.
  • Logo o integrando vira
x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}t\cdot\operatorname{cosh} t\cdot\frac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt=\frac{1}{8}\operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
  • Assim
S_{1}=2\pi\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx =2\pi\cdot\frac{1}{8}\int_{0}^{a}\operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t\,dt =\frac{\pi}{4}\int_{0}^{a}\operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
  • Usamos a identidade \operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t=(\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t)^{2}=\dfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}(2t). Então
S_{1}=\frac{\pi}{4}\int_{0}^{a}\frac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}(2t)\,dt=\frac{\pi}{16}\int_{0}^{a}\operatorname{sinh}^{2}(2t)\,dt.
  • Aplicamos \operatorname{sinh}^{2}u=\dfrac{\operatorname{cosh}(2u)-1}{2} com u=2t:
\operatorname{sinh}^{2}(2t)=\frac{\operatorname{cosh}(4t)-1}{2}.
  • Portanto
S_{1}=\frac{\pi}{16}\int_{0}^{a}\frac{\operatorname{cosh}(4t)-1}{2}\,dt=\frac{\pi}{32}\left[\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}(4t)\,dt-\int_{0}^{a}1\,dt\right].
  • Integrando:
\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}(4t)\,dt=\left.\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(4t)\right|_{0}^{a}=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(4a), \qquad \int_{0}^{a}1\,dt=a.
  • Logo
S_{1}=\frac{\pi}{32}\left(\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(4a)-a\right)=\frac{\pi}{128}\operatorname{sinh}(4a)-\frac{\pi}{32}a.

Passo 7

Simplificar S_{1} para formas elementares:
  • Lembrando a=\operatorname{arcsinh}2. Temos \operatorname{sinh} a=2 e \operatorname{cosh} a=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}a}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Calcule \operatorname{sinh}(2a) e \operatorname{cosh}(2a):
\operatorname{sinh}(2a)=2\operatorname{sinh} a\operatorname{cosh} a=2\cdot 2\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5},
\operatorname{cosh}(2a)=\operatorname{cosh}^{2}a+\operatorname{sinh}^{2}a=5+4=9.
  • Agora \operatorname{sinh}(4a)=2\operatorname{sinh}(2a)\operatorname{cosh}(2a)=2\cdot(4\sqrt{5})\cdot 9=72\sqrt{5}.
  • Substituindo em S_{1}:
S_{1}=\frac{\pi}{128}\cdot 72\sqrt{5}-\frac{\pi}{32}a =\frac{72}{128}\pi\sqrt{5}-\frac{\pi}{32}\operatorname{arcsinh}2.
  • Simplificando a fração \dfrac{72}{128}=\dfrac{9}{16}:
S_{1}=\frac{9\pi\sqrt{5}}{16}-\frac{\pi}{32}\operatorname{arcsinh}2.
  • Substituindo \operatorname{arcsinh}2=\ln(2+\sqrt{5}) (identidade padrão):
S_{1}=\frac{9\pi\sqrt{5}}{16}-\frac{\pi}{32}\ln(2+\sqrt{5}).

Passo 8

Somar S_{1} e S_{2} e avaliar numericamente:
  • Relembrando S_{2}=\dfrac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
  • Então
S_{\text{total}}=S_{1}+S_{2} =\left(\frac{9\pi\sqrt{5}}{16}-\frac{\pi}{32}\ln(2+\sqrt{5})\right) +\left(\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)\right).
  • Podemos agrupar termos com \sqrt{5} e constantes, mas aqui vamos apresentar o valor numérico para comparar com a resposta dada:
    • Calcule numericamente cada parte:
      • \dfrac{9\pi\sqrt{5}}{16}\approx 3{,}9520,
      • -\dfrac{\pi}{32}\ln(2+\sqrt{5})\approx -0{,}1419,
      • \dfrac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)\approx 5{,}3270.
    • Somando: 3{,}9520-0{,}1419+5{,}3270\approx 9{,}1371.
  • Arredondando para duas casas decimais (como na resposta fornecida):
S_{\text{total}}\approx 9{,}14\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

9,14\\ \mathrm{cm}^{2}

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