e pede para quais k\in\mathbb{R} ela é diagonalizável. O que precisamos aqui é:
Calcular o polinômio característico de A e achar seus autovalores.
Usar o fato de que, em dimensão 3, se todos os autovalores são distintos então a matriz é diagonalizável; se há multiplicidade algébrica maior que 1, verificar a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para decidir a diagonalização.
Passo 2
Vamos computar o polinômio característico \det(A-\lambda I). Pela estrutura triangular em bloco, temos
Os autovalores de A são as raízes do polinômio acima, ou seja
\lambda_1=k,\quad \lambda_2=-1,\quad \lambda_3=3.
Cada um tem multiplicidade algébrica 1, exceto quando k=-1 (aqui -1 fica com mult.\ 2) ou k=3 (aqui 3 fica com mult.\ 2).
Passo 4
Se k\neq -1 e k\neq 3, então os três autovalores k,-1,3 são distintos. Em \mathbb{R}^3, isso garante que A tem três autovetores linearmente independentes, logo é diagonalizável.
Passo 5
Caso k=-1, os autovalores são \lambda=-1 (mult.\ 2) e \lambda=3 (mult.\ 1). Para \lambda=-1 resolvemos
Dessa equação tiramos x_2=x_3=0 e x_1 livre, ou seja o espaço próprio tem dimensão 1 < 2. Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, A não é diagonalizável quando k=-1.
Passo 6
Caso k=3, os autovalores são \lambda=3 (mult.\ 2) e \lambda=-1 (mult.\ 1). Para \lambda=3 resolvemos
que dá a condição x_2=x_3 e x_1 livre. Logo o espaço próprio tem dimensão 2=2, igual à multiplicidade algébrica, e portanto A é diagonalizável quando k=3.