Estabeleça para quais valores de k \in \mathbb{R} a seguinte matriz é diagonalizável:
A=\left[\begin{array}{ccc} k & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} k & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},
e pede para quais k\in\mathbb{R} ela é diagonalizável. O que precisamos aqui é:
  1. Calcular o polinômio característico de A e achar seus autovalores.
  2. Usar o fato de que, em dimensão 3, se todos os autovalores são distintos então a matriz é diagonalizável; se há multiplicidade algébrica maior que 1, verificar a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para decidir a diagonalização.

Passo 2

Vamos computar o polinômio característico \det(A-\lambda I). Pela estrutura triangular em bloco, temos
\det(A-\lambda I) =(k-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[6pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(k-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-4\bigr).
E como
(1-\lambda)^2-4=(1-\lambda-2)(1-\lambda+2)=(-\lambda-1)(3-\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-3),
fica
\det(A-\lambda I)=(k-\lambda)\,(\lambda+1)\,(\lambda-3).]

Passo 3

Os autovalores de A são as raízes do polinômio acima, ou seja
\lambda_1=k,\quad \lambda_2=-1,\quad \lambda_3=3.
Cada um tem multiplicidade algébrica 1, exceto quando k=-1 (aqui -1 fica com mult.\ 2) ou k=3 (aqui 3 fica com mult.\ 2).

Passo 4

Se k\neq -1 e k\neq 3, então os três autovalores k,-1,3 são distintos. Em \mathbb{R}^3, isso garante que A tem três autovetores linearmente independentes, logo é diagonalizável.

Passo 5

Caso k=-1, os autovalores são \lambda=-1 (mult.\ 2) e \lambda=3 (mult.\ 1). Para \lambda=-1 resolvemos
(A+I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 0&2&2\\\ 0&2&2\end{pmatrix}x=0.
Dessa equação tiramos x_2=x_3=0 e x_1 livre, ou seja o espaço próprio tem dimensão 1 < 2. Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, A não é diagonalizável quando k=-1.

Passo 6

Caso k=3, os autovalores são \lambda=3 (mult.\ 2) e \lambda=-1 (mult.\ 1). Para \lambda=3 resolvemos
(A-3I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 0&-2&2\\\ 0&2&-2\end{pmatrix}x=0,
que dá a condição x_2=x_3 e x_1 livre. Logo o espaço próprio tem dimensão 2=2, igual à multiplicidade algébrica, e portanto A é diagonalizável quando k=3.

Resposta

A matriz A é diagonalizável se, e somente se,
k\neq -1.

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