Sejam:
V=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \quad \underline{v}=\left(\begin{array}{c} 3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right)
Encontre a projeção ortogonal de \underline{v} em $V.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \underline v em V=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, onde
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \underline v=\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
Para isso usamos a fórmula de projeção em subespaço gerado pelas colunas de A=[\,v_1\;v_2\;v_3\,], que dá
\mathrm{proj}_V\underline v \;=\; A\,(A^T A)^{-1}A^T\underline v.
Isso equivale a encontrar coeficientes c=(c_1,c_2,c_3)^T que minimizam \|A c-\underline v\|, resolvendo o sistema normal
A^T A\,c \;=\; A^T\underline v.

Passo 2

Calcular A^T A e A^T\underline v. Como
A^T A=\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1 & v_1\cdot v_2 & v_1\cdot v_3\\\ v_2\cdot v_1 & v_2\cdot v_2 & v_2\cdot v_3\\\ v_3\cdot v_1 & v_3\cdot v_2 & v_3\cdot v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1&0\\\ 1&2&1\\\ 0&1&2\end{pmatrix},
e
A^T\underline v=\begin{pmatrix} v_1\cdot\underline v\v_2\cdot\underline v\v_3\cdot\underline v \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Resolver o sistema
\begin{pmatrix}2&1&0\\\ 1&2&1\\\ 0&1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix}.
Da terceira linha vem c_2+2c_3=0\Rightarrow c_2=-2c_3. Substituindo na primeira, 2c_1+c_2=6\Rightarrow2c_1-2c_3=6\Rightarrow c_1=c_3+3. Na segunda,
c_1+2c_2+c_3=5\;\Rightarrow\;(c_3+3)+2(-2c_3)+c_3=5\;\Rightarrow\;-2c_3=2\;\Rightarrow\;c_3=-1.
Logo c_1=2 e c_2=2.

Passo 4

Construir a projeção a partir de c_1,c_2,c_3:
\mathrm{proj}_V\underline v = c_1\,v_1+c_2\,v_2+c_3\,v_3 =2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} -1\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{proj}_V\underline v =\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

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