Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a função linear:
f\left(\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+z \\\ x+2 y-z \\\\ 2 x-2 y+4 z \end{array}\right)
Calcule a matriz representativa de f em relação à base \{(1,0,-1),(-1,-1,-1),(1,1,0)\} de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
f(x,y,z) = (\,x+z,\;x+2y-z,\;2x-2y+4z\,)
e pede a matriz de f na base \{b_1,b_2,b_3\}\subset\mathbb{R}^3 com
b_1=(1,0,-1),\quad b_2=(-1,-1,-1),\quad b_3=(1,1,0).
Para isso, vamos calcular f(b_i) e expressar cada vetor no sistema de coordenadas dessa base.

Passo 2

Calculemos f(b_1)\). Como \(b_1=(1,0,-1)\), temos \[f(b_1)=f(1,0,-1) = (\,1+(-1),\;1+0-(-1),\;2\cdot1-2\cdot0+4(-1)\,) = (0,2,-2).
Procuramos escalares a,b,c tais que
a\,b_1 + b\,b_2 + c\,b_3 = (0,2,-2).
Isto dá o sistema
\begin{cases} a - b + c = 0,\\\\ -\,b + c = 2,\\\\ -\,a - b = -2. \end{cases}
Resolvendo, obtemos (a,b,c)=(-2,4,6)\]. Logo, a primeira coluna da matriz em relação à base é \(\bigl(-2,4,6\bigr)^T.

Passo 3

Agora f(b_2)\) com \(b_2=(-1,-1,-1)\): \[f(b_2)=(-2,-2,-4).
Escrevemos
a\,b_1 + b\,b_2 + c\,b_3 = (-2,-2,-4),
que gera
\begin{cases} a - b + c = -2,\\\\ -\,b + c = -2,\\\\ -\,a - b = -4. \end{cases}
A solução é (a,b,c)=(0,4,2)\]. Então a segunda coluna é \(\bigl(0,4,2\bigr)^T.

Passo 4

Finalmente f(b_3)\) com \(b_3=(1,1,0)\): \[f(b_3)=(1,3,0).
Procuramos
a\,b_1 + b\,b_2 + c\,b_3 = (1,3,0),
levando ao sistema
\begin{cases} a - b + c = 1,\\\\ -\,b + c = 3,\\\\ -\,a - b = 0. \end{cases}
Daí (a,b,c)=(-2,2,5)\]. A terceira coluna é \(\bigl(-2,2,5\bigr)^T.

Passo 5

Reunindo as colunas obtidas, a matriz de f na base \{b_1,b_2,b_3\} é
[f]_{\{b_i\}} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2\\\\ 4 & 4 & 2\\\\ 6 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

[f]_{\{b_1,b_2,b_3\}} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2\\\\ 4 & 4 & 2\\\\ 6 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

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