Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
9x^2-4y^2-18x-16y-43=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica definida por
9x^2-4y^2-18x-16y-43=0
e pede que a gente identifique o tipo de cônica, ache o centro, vértices, focos, excentricidade e esboce o gráfico. Para isso, vamos completar quadrados e pôr na forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Agrupando termos e completando quadrados em x e y:
9l(x^2-2xr);-4l(y^2+4yr);-43=0
Em x^2-2x adicionamos e subtraímos 1, e em y^2+4y adicionamos e subtraímos 4:
9l[(x-1)^2-1r];-4l[(y+2)^2-4r];-43=0
Distributindo:
9(x-1)^2-9 ;-;4(y+2)^2+16;-43=0
9(x-1)^2-4(y+2)^2-36=0

Passo 3

Isolando em um lado e dividindo por 36 para obter 1 no lado direito:
9(x-1)^236;-;4(y+2)^236=1 Longrightarrow (x-1)^24;-;(y+2)^29=1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso horizontal.

Passo 4

Comparando com
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2=1
temos h=1, k=-2, a^2=4, b^2=9. Logo
a=2, b=3, c=raiza^2+b^2=raiz13, e=ca=raiz132
O centro é (1,-2). Os vértices, a uma distância a ao longo de x, são
(1pm2,,-2), ou seja, (3,-2) e (-1,-2).
Os focos, a uma distância c no mesmo eixo, são
(1pmraiz13,,-2).

Passo 5

Para o esboço basta lembrar que a hipérbole abre para a direita e para a esquerda, centrada em (1,-2), e tem assimptotas dadas por
y+2=pmba,(x-1) Longrightarrow y+2=pm32(x-1)
Desenhando o retângulo fundamental de semi-eixos a=2 e b=3 e traçando suas diagonais, temos as linhas-guia das assíntotas; a curva se aproxima delas nos ramos.

Resposta

Hipérbole com centro em (1,-2).
Vértices em (3,-2) e (-1,-2).
Focos em l(1pmraiz13,,-2r).
Excentricidade e=dfracraiz132.

Exercícios relacionados