Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica definida por
e pede que a gente identifique o tipo de cônica, ache o centro, vértices, focos, excentricidade e esboce o gráfico. Para isso, vamos completar quadrados e pôr na forma padrão de uma hipérbole.
Passo 2
Agrupando termos e completando quadrados em
e
:
Em
adicionamos e subtraímos
, e em
adicionamos e subtraímos
:
Distributindo:
Passo 3
Isolando em um lado e dividindo por
para obter
no lado direito:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso horizontal.
Passo 4
Comparando com
temos
,
,
,
. Logo
O centro é
. Os vértices, a uma distância
ao longo de
, são
, ou seja,
e
.
Os focos, a uma distância no mesmo eixo, são
.
Os focos, a uma distância
Passo 5
Para o esboço basta lembrar que a hipérbole abre para a direita e para a esquerda, centrada em
, e tem assimptotas dadas por
Desenhando o retângulo fundamental de semi-eixos
e
e traçando suas diagonais, temos as linhas-guia das assíntotas; a curva se aproxima delas nos ramos.
Resposta
Hipérbole com centro em
.
Vértices em e
.
Focos em .
Excentricidade .
Vértices em
Focos em
Excentricidade