Estabelecer a condição que deve ser satisfeita para os termos independentes e t para que o sistema seja compatível. (R: x-2 x+y+2 x=0 e t+3 x-2 y-4 x=0 ).
Passo 1
O enunciado dá o sistema de quatro equações lineares em duas incógnitas a e b:
-a + 3b = x,
2a - b = y,
-2a + b = z,
3a + b = t,
onde x,y,z,t são termos independentes. Queremos achar as condições que esses parâmetros devem satisfazer para que exista solução. Para isso, vamos primeiro resolver o par de equações iniciais para a e b e depois impor que esses valores satisfaçam as duas últimas equações.
Passo 2
Considere o subsistema
-a + 3b = x, 2a - b = y
Da primeira equação isolamos
a = 3b - x
Substituindo em 2a - b = y:
2(3b - x) - b = y
6b - 2x - b = y
5b = y + 2x
b = y + 2x5
Logo,
a = 3b - x = 3y + 2x5 - x = 3y + 6x - 5x5 = 3y + x5
Passo 3
Agora impomos que esses valores satisfaçam a terceira equação -2a + b = z. Substituindo a e b:
-23y + x5 + y + 2x5 = z
-6y - 2x + y + 2x5 = z
-5y5 = z
-z = y
Portanto, a primeira condição de compatibilidade é
y + z = 0
Passo 4
Finalmente, impomos a quarta equação 3a + b = t. Substituindo:
33y + x5 + y + 2x5 = t
9y + 3x + y + 2x5 = t
10y + 5x5 = t
t = x + 2y
Esta é a segunda condição de compatibilidade.
Resposta
As condições que x,y,z,t devem satisfazer para que o sistema seja compatível são