Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
4x^2+9y^2=25

Passo 1

O enunciado fornece a equação
4x^2+9y^2=25
e pede para identificar a cônica e determinar centro, vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico. O conteúdo é a classificação e estudo de elipses a partir da forma geral.

Passo 2

Para classificar a cônica, observamos que os termos em x^2 e y^2 são ambos positivos e não há termo cruzado xy. Logo trata-se de uma elipse.

Passo 3

Não há termos em x ou y isolados, portanto o centro está em
(0,0)

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 25, obtemos
x^225/4+y^225/9=1
Assim
a^2=254, b^2=259
Como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal, com
a=52, b=53

Passo 5

Os vértices (extremos do eixo maior) são
l(pm a,0r)=l(pm52,0r),
e os co-vértices (extremos do eixo menor) são
l(0,pm br)=l(0,pm53r)

Passo 6

Para os focos, calculamos
c^2=a^2-b^2 =254-259 =12536,
logo
c=5raiz56,
e os focos estão em
l(pm5raiz56,0r)

Passo 7

A excentricidade é
e=ca =tfrac5raiz56tfrac52 =raiz53approx0,745

Passo 8

Esboço: elipse centrada em (0,0), semi-eixo maior a=tfrac52 ao longo de x e semi-eixo menor b=tfrac53 ao longo de y. Vértices em l(pmtfrac52,0r), focos em l(pmtfrac5raiz56,0r).

Resposta

Elipse
Centro: (0,0)
Vértices: l(pmtfrac52,0r)
Co-vértices: l(0,pmtfrac53r)
Focos: l(pmtfrac5raiz56,0r)
Excentricidade: tfracraiz53
Esboço: elipse de eixo maior horizontal ( 2a=5) e eixo menor vertical ( 2b=tfrac103).

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