Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para identificar a cônica e determinar centro, vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico. O conteúdo é a classificação e estudo de elipses a partir da forma geral.
Passo 2
Para classificar a cônica, observamos que os termos em
e
são ambos positivos e não há termo cruzado
. Logo trata-se de uma elipse.
Passo 3
Não há termos em
ou
isolados, portanto o centro está em
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Assim
Como
, o eixo maior é horizontal, com
Passo 5
Os vértices (extremos do eixo maior) são
e os co-vértices (extremos do eixo menor) são
Passo 6
Para os focos, calculamos
logo
e os focos estão em
Passo 7
A excentricidade é
Passo 8
Esboço: elipse centrada em
, semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
. Vértices em
, focos em
.
Resposta
Elipse
Centro:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Esboço: elipse de eixo maior horizontal ( ) e eixo menor vertical (
).
Centro:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Esboço: elipse de eixo maior horizontal (