Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a cônica dada por
e depois determinar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para colocar a equação na forma padrão de uma elipse ou hipérbole.
Passo 2
Agrupando os termos em
e em
e completando quadrados:
Agora
Substituindo:
Passo 3
Dividindo por
:
Como os denominadores são
e
, e
, temos uma elipse com
e centro em
. O eixo maior é vertical (ligado ao termo de denominação maior).
Passo 4
Os vértices no eixo maior (vertical) saem de
somando e subtraindo
em
:
Os vértices secundarios (co-vértices) no eixo menor são
Passo 5
A distância focal satisfaz
Então os focos, no mesmo eixo maior, são
A excentricidade vale
Passo 6
Para esboçar: desenhe o ponto central
, marque os vértices
e
e os co-vértices
,
. Trace a elipse unindo esses pontos suavemente, com os focos internos sobre o eixo maior.
Resposta
Elipse com
centro ,
vértices e
,
co-vértices e
,
focos ,
excentricidade .
centro
vértices
co-vértices
focos
excentricidade