Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
16x^2+9y^2-96x+72y+144=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por
16x^2+9y^2-96x+72y+144=0
e depois determinar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para colocar a equação na forma padrão de uma elipse ou hipérbole.

Passo 2

Agrupando os termos em x e em y e completando quadrados:
16x^2-96x+9y^2+72y+144=0 Longrightarrow 16l(x^2-6xr)+9l(y^2+8yr)+144=0
Agora
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+8y=(y+4)^2-16
Substituindo:
16l((x-3)^2-9r)+9l((y+4)^2-16r)+144=0
16(x-3)^2-144+9(y+4)^2-144+144=0 ;Longrightarrow; 16(x-3)^2+9(y+4)^2=144

Passo 3

Dividindo por 144:
(x-3)^29+(y+4)^216=1
Como os denominadores são 9 e 16, e 16>9, temos uma elipse com
a^2=16, b^2=9, a=4, b=3,
e centro em (3,-4). O eixo maior é vertical (ligado ao termo de denominação maior).

Passo 4

Os vértices no eixo maior (vertical) saem de (3,-4) somando e subtraindo a=4 em y:
(3,,-4+4)=(3,0), (3,,-4-4)=(3,-8)
Os vértices secundarios (co-vértices) no eixo menor são
(3+3,,-4)=(6,-4), (3-3,,-4)=(0,-4)

Passo 5

A distância focal satisfaz
c^2=a^2-b^2=16-9=7, c=raiz7
Então os focos, no mesmo eixo maior, são
(3,,-4+raiz7) e (3,,-4-raiz7)
A excentricidade vale
e=ca=raiz74

Passo 6

Para esboçar: desenhe o ponto central (3,-4), marque os vértices (3,0) e (3,-8) e os co-vértices (6,-4), (0,-4). Trace a elipse unindo esses pontos suavemente, com os focos internos sobre o eixo maior.

Resposta

Elipse com
centro (3,-4),
vértices (3,0) e (3,-8),
co-vértices (6,-4) e (0,-4),
focos l(3,-4pmraiz7r),
excentricidade e=dfracraiz74.

Exercícios relacionados